Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{13} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{13} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \sqrt{13}$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 5

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{13})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем ${\sqrt{13}}^{2}$ в виде $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{13}$ в виде $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{13^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{13^{\frac{2}{2}} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{13^{1} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{13 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{13 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{13 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{13 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3^{1})}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{13 - (4 \cdot 3)}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.5

Умножим $- (4 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{13 - 1 \cdot 12}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.5.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{\sqrt{13 - 12}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.6

Вычтем $12$ из $13$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.1.7

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{13}}$

Этап 6.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Этап 6.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Этап 6.3.2

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Этап 6.3.3

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Этап 6.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Этап 6.3.6

Перепишем ${\sqrt{13}}^{2}$ в виде $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{13}$ в виде $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{13}}{13^{1}}$

Этап 6.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{13}}{13}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{13}}{13}$

Десятичная форма:

$0.27735009 \dots$

Этап 8