Основы мат. анализа Примеры

$p (x) = 4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$4 {(- \frac{3}{2})}^{4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - \frac{3}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$4 (1 \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.3

Умножим $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ на $1$ .

$4 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.4

Возведем $3$ в степень $4$ .

$4 \frac{81}{2^{4}} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$4 (\frac{81}{16}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 \frac{81}{4 (4)} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.6.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{81}{4 \cdot 4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{81}{4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} + 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} + 8 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.9

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{27}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.11

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{27}{8}$ в числитель.

$\frac{81}{4} + 8 (\frac{- 27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{81}{4} + 8 (\frac{- 27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{81}{4} - 27 - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.12

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.12.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.12.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.13

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.14

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.15

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 \frac{9}{2^{2}} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.16

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{81}{4} - 27 - 7 (\frac{9}{4}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.17

Умножим $- 7 (\frac{9}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.1

Объединим $- 7$ и $\frac{9}{4}$ .

$\frac{81}{4} - 27 + \frac{- 7 \cdot 9}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.17.2

Умножим $- 7$ на $9$ .

$\frac{81}{4} - 27 + \frac{- 63}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.19

Умножим $- 21 (- \frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.19.1

Умножим $- 1$ на $- 21$ .

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + 21 (\frac{3}{2}) - 9$

Этап 4.1.19.2

Объединим $21$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + \frac{21 \cdot 3}{2} - 9$

Этап 4.1.19.3

Умножим $21$ на $3$ .

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + \frac{63}{2} - 9$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 27 - 9 + \frac{81 - 63}{4} + \frac{63}{2}$

Этап 4.2.2

Вычтем $63$ из $81$ .

$- 27 - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Этап 4.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем $- 27$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 27}{1} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{- 27}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27}{1} \cdot \frac{4}{4} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{- 27}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Этап 4.3.4

Запишем $- 9$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{- 9}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Этап 4.3.6

Умножим $\frac{- 9}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

Этап 4.3.7

Умножим $\frac{63}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.3.8

Умножим $\frac{63}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.9

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63 \cdot 2}{4}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 27 \cdot 4 - 9 \cdot 4 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 27$ на $4$ .

$\frac{- 108 - 9 \cdot 4 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

Этап 4.5.2

Умножим $- 9$ на $4$ .

$\frac{- 108 - 36 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

Этап 4.5.3

Умножим $63$ на $2$ .

$\frac{- 108 - 36 + 18 + 126}{4}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вычтем $36$ из $- 108$ .

$\frac{- 144 + 18 + 126}{4}$

Этап 4.6.2

Добавим $- 144$ и $18$ .

$\frac{- 126 + 126}{4}$

Этап 4.6.3

Добавим $- 126$ и $126$ .

$\frac{0}{4}$

Этап 4.6.4

Разделим $0$ на $4$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- \frac{3}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $x + \frac{3}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x + \frac{3}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(4)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(- \frac{3}{2})$ и запишем их произведение $(- 6)$ под следующим членом делимого $(8)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$
	$4$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$
	$4$	$2$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(- \frac{3}{2})$ и запишем их произведение $(- 3)$ под следующим членом делимого $(- 7)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$
	$4$	$2$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$
	$4$	$2$	$- 10$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 10)$ на делитель $(- \frac{3}{2})$ и запишем их произведение $(15)$ под следующим членом делимого $(- 21)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$
	$4$	$2$	$- 10$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 6)$ на делитель $(- \frac{3}{2})$ и запишем их произведение $(9)$ под следующим членом делимого $(- 9)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$	$9$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$	$9$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (- 10) x - 6$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$4 x^{3} + 2 x^{2} - 10 x - 6$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3} + 2 x^{2} - 10 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} - 10 x - 6)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) - 10 x - 6)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $- 10 x$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (- 5 x) - 6)$

Этап 7.4

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (- 5 x) + 2 \cdot - 3)$

Этап 7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (- 5 x) + 2 \cdot - 3)$

Этап 7.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (- 5 x)$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x) + 2 \cdot - 3)$

Этап 7.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x) + 2 \cdot - 3$ .

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3))$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 8.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Этап 8.1.3

Подставим $- 1.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Подставим $- 1.5$ в многочлен.

$4 {(- 1.5)}^{4} + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Этап 8.1.3.2

Возведем $- 1.5$ в степень $4$ .

$4 \cdot 5.0625 + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Этап 8.1.3.3

Умножим $4$ на $5.0625$ .

$20.25 + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Этап 8.1.3.4

Возведем $- 1.5$ в степень $3$ .

$20.25 + 8 \cdot - 3.375 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Этап 8.1.3.5

Умножим $8$ на $- 3.375$ .

$20.25 - 27 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Этап 8.1.3.6

Вычтем $27$ из $20.25$ .

$- 6.75 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Этап 8.1.3.7

Возведем $- 1.5$ в степень $2$ .

$- 6.75 - 7 \cdot 2.25 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Этап 8.1.3.8

Умножим $- 7$ на $2.25$ .

$- 6.75 - 15.75 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Этап 8.1.3.9

Вычтем $15.75$ из $- 6.75$ .

$- 22.5 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

Этап 8.1.3.10

Умножим $- 21$ на $- 1.5$ .

$- 22.5 + 31.5 - 9$

Этап 8.1.3.11

Добавим $- 22.5$ и $31.5$ .

$9 - 9$

Этап 8.1.3.12

Вычтем $9$ из $9$ .

$0$

Этап 8.1.4

Поскольку $- 1.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{2 x + 3}$

Этап 8.1.5

Разделим $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ на $2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

Этап 8.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

Этап 8.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

Этап 8.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{4} + 6 x^{3}$ .

				$2 x^{3}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$

Этап 8.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

Этап 8.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

Этап 8.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

Этап 8.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 8.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + 3 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 8.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

Этап 8.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

Этап 8.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

Этап 8.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							-	$10 x^{2}$	-	$15 x$

Этап 8.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 x^{2} - 15 x$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

Этап 8.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

$6 x$

Этап 8.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

$6 x$

$9$

Этап 8.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$

Этап 8.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									-	$6 x$	-	$9$

Этап 8.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x - 9$ .

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									+	$6 x$	+	$9$

Этап 8.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									+	$6 x$	+	$9$
												$0$

Этап 8.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$

Этап 8.1.6

Запишем $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ в виде набора множителей.

$(2 x + 3) (2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Этап 8.2

Разложим $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разложим $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 8.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

Этап 8.2.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.3.1

Подставим $- 1.5$ в многочлен.

$2 {(- 1.5)}^{3} + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Этап 8.2.1.3.2

Возведем $- 1.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 3.375 + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Этап 8.2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 3.375$ .

$- 6.75 + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Этап 8.2.1.3.4

Возведем $- 1.5$ в степень $2$ .

$- 6.75 + 2.25 - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Этап 8.2.1.3.5

Добавим $- 6.75$ и $2.25$ .

$- 4.5 - 5 \cdot - 1.5 - 3$

Этап 8.2.1.3.6

Умножим $- 5$ на $- 1.5$ .

$- 4.5 + 7.5 - 3$

Этап 8.2.1.3.7

Добавим $- 4.5$ и $7.5$ .

$3 - 3$

Этап 8.2.1.3.8

Вычтем $3$ из $3$ .

$0$

Этап 8.2.1.4

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3}{2 x + 3}$

Этап 8.2.1.5

Разделим $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ на $2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.5.1

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

Этап 8.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$

Этап 8.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			+	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 8.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 8.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 8.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 8.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 8.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 8.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 8.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$

Этап 8.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$

Этап 8.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$

Этап 8.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							-	$2 x$	-	$3$

Этап 8.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x - 3$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							+	$2 x$	+	$3$

Этап 8.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							+	$2 x$	+	$3$
										$0$

Этап 8.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 1$

Этап 8.2.1.6

Запишем $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ в виде набора множителей.

$(2 x + 3) ((2 x + 3) (x^{2} - x - 1)) = 0$

Этап 8.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

Этап 8.3

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $2 x + 3$ в степень $1$ .

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

Этап 8.3.2

Возведем $2 x + 3$ в степень $1$ .

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

Этап 8.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(2 x + 3)}^{1 + 1} (x^{2} - x - 1) = 0$

Этап 8.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(2 x + 3)}^{2} (x^{2} - x - 1) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(2 x + 3)}^{2} = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

Этап 10

Приравняем ${(2 x + 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем ${(2 x + 3)}^{2}$ к $0$ .

${(2 x + 3)}^{2} = 0$

Этап 10.2

Решим ${(2 x + 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 10.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 10.2.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 10.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 10.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 10.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 11

Приравняем $x^{2} - x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} - x - 1$ к $0$ .

$x^{2} - x - 1 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} - x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 11.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.3.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 11.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.4.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 11.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 11.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.5.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 11.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(2 x + 3)}^{2} (x^{2} - x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Десятичная форма:

$x = - 1.5, 1.61803398 \dots, - 0.61803398 \dots$

Форма смешанных чисел:

$x = - 1 \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 14