Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Этап 4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 3 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Этап 4.1.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$1 + 3 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Этап 4.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 + 3 - 6 \cdot 1 + 6 (- 1) + 8$

Этап 4.1.5

Умножим $- 6$ на $1$ .

$1 + 3 - 6 + 6 (- 1) + 8$

Этап 4.1.6

Умножим $6$ на $- 1$ .

$1 + 3 - 6 - 6 + 8$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ и $3$ .

$4 - 6 - 6 + 8$

Этап 4.2.2

Вычтем $6$ из $4$ .

$- 2 - 6 + 8$

Этап 4.2.3

Вычтем $6$ из $- 2$ .

$- 8 + 8$

Этап 4.2.4

Добавим $- 8$ и $8$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8}{x + 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 1)$ под следующим членом делимого $(- 3)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$	$- 4$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(4)$ под следующим членом делимого $(- 6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 2$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 2)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(8)$ на делитель $(- 1)$ и запишем их произведение $(- 8)$ под следующим членом делимого $(8)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 2) x + 8$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) (x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) + x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

$(x + 1) x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 4$ .

$(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 2)$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перегруппируем члены.

$- 3 x^{3} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Этап 9.2

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{3} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $- 3 x$ из $6 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 2 + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 2)$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Этап 9.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Этап 9.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 3 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 6 u + 8 = 0$

Этап 9.5

Разложим $u^{2} - 6 u + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 6$ .

$- 4, - 2$

Этап 9.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 3 x (x^{2} - 2) + (u - 4) (u - 2) = 0$

Этап 9.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 9.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 9.8

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 9.9

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $- 3 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 9.9.2

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 9.9.3

Вынесем множитель $x^{2} - 2$ из $(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 9.10

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Этап 9.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Этап 9.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 9.11

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.11.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 9.11.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 9.11.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 9.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.12.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 9.12.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Этап 9.13

Изменим порядок членов.

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Этап 9.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.14.1

Разложим $x^{2} - 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.14.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 9.14.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Этап 9.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 11

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 11.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 11.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 11.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 12

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 12.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 13

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$ верно.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

Десятичная форма:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 4, - 1$

Этап 16