Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(1)}^{3} - {(1)}^{2} + 4 (1) - 4$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 - {(1)}^{2} + 4 (1) - 4$

Этап 4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 1 \cdot 1 + 4 (1) - 4$

Этап 4.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - 1 + 4 (1) - 4$

Этап 4.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$1 - 1 + 4 - 4$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 + 4 - 4$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$4 - 4$

Этап 4.2.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 4 x - 4}{x - 1}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$
	$1$	$0$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(4)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$4$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(4)$ на делитель $(1)$ и запишем их произведение $(4)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$	$4$
	$1$	$0$	$4$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$1$	$1$	$- 1$	$4$	$- 4$
		$1$	$0$	$4$
	$1$	$0$	$4$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{2} + 0 x + 4$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} + 4$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 7.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 7.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 7.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 7.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 7.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 7.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 7.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 7.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 7.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 7.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 1) (x - 2 i) (x + 2 i)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ .

$x = 1, 2 i, - 2 i$

Этап 10