Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 14, \pm 28$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 14, \pm 28$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$2 {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Этап 4.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{1 + 3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Этап 4.1.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$2^{4} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Этап 4.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 - 4 \cdot 4 - 14 \cdot 2 + 28$

Этап 4.1.4

Умножим $- 4$ на $4$ .

$16 - 16 - 14 \cdot 2 + 28$

Этап 4.1.5

Умножим $- 14$ на $2$ .

$16 - 16 - 28 + 28$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $16$ из $16$ .

$0 - 28 + 28$

Этап 4.2.2

Вычтем $28$ из $0$ .

$- 28 + 28$

Этап 4.2.3

Добавим $- 28$ и $28$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28}{x - 2}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(2)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

	$2$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(2)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(4)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$	$0$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 14)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$	$- 14$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 14)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 28)$ под следующим членом делимого $(28)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$2 x^{2} + 0 x - 14$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$2 x^{2} - 14$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$(x - 2) (2 (x^{2}) - 14)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 14$ .

$(x - 2) (2 x^{2} + 2 \cdot - 7)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 \cdot - 7$ .

$(x - 2) (2 (x^{2} - 7))$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 4 x^{2} - 14 x + 28 = 0$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{2}$ .

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) - 14 x + 28 = 0$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 14 x$ .

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 28 = 0$

Этап 8.1.4

Вынесем множитель $2$ из $28$ .

$2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

Этап 8.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2})$ .

$2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

Этап 8.1.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ .

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

Этап 8.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14$ .

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 14) = 0$

Этап 8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((x^{3} - 2 x^{2}) - 7 x + 14) = 0$

Этап 8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (x^{2} (x - 2) - 7 (x - 2)) = 0$

Этап 8.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 2$ .

$2 ((x - 2) (x^{2} - 7)) = 0$

Этап 8.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 7 = 0$

Этап 10

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 10.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 11

Приравняем $x^{2} - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} - 7$ к $0$ .

$x^{2} - 7 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} - 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 7$

Этап 11.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{7}$

Этап 11.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{7}$

Этап 11.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{7}$

Этап 11.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$ верно.

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Десятичная форма:

$x = 2, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

Этап 14