Основы мат. анализа Примеры

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 14 \\ c = \\ a = & 12 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 55 \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Этап 1

Теорема синусов дает неоднозначный результат. Это указывает на существование $2$ углов, при которых уравнение имеет корректное решение. Для первого треугольника используем первое возможное значение угла.

Найдем решение для первого треугольника.

Этап 2

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 3

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (55)}{12}$

Этап 4

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $14$ .

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $14 \frac{\sin (55)}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$\sin (B) = 2 (7) \frac{\sin (55)}{12}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 7 \frac{\sin (55)}{2 \cdot 6}$

Этап 4.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\sin (B) = 2 \cdot 7 \frac{\sin (55)}{2 \cdot 6}$

Этап 4.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 7 \frac{\sin (55)}{6}$

Этап 4.2.2.1.2

Объединим $7$ и $\frac{\sin (55)}{6}$ .

$\sin (B) = \frac{7 \sin (55)}{6}$

Этап 4.2.2.1.3

Найдем значение $\sin (55)$ .

$\sin (B) = \frac{7 \cdot 0.81915204}{6}$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $7$ на $0.81915204$ .

$\sin (B) = \frac{5.73406431}{6}$

Этап 4.2.2.1.5

Разделим $5.73406431$ на $6$ .

$\sin (B) = 0.95567738$

Этап 4.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (0.95567738)$

Этап 4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.95567738)$ .

$B = 72.87748312$

Этап 4.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$B = 180 - 72.87748312$

Этап 4.6

Вычтем $72.87748312$ из $180$ .

$B = 107.12251687$

Этап 4.7

Решение уравнения $B = 72.87748312$ .

$B = 72.87748312, 107.12251687$

Этап 5

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$55 + C + 72.87748312 = 180$

Этап 6

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $55$ и $72.87748312$ .

$C + 127.87748312 = 180$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $127.87748312$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 127.87748312$

Этап 6.2.2

Вычтем $127.87748312$ из $180$ .

$C = 52.12251687$

Этап 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 8

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (52.12251687)}{c} = \frac{\sin (55)}{12}$

Этап 9

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Найдем значение $\sin (52.12251687)$ .

$\frac{0.78932543}{c} = \frac{\sin (55)}{12}$

Этап 9.1.2

Найдем значение $\sin (55)$ .

$\frac{0.78932543}{c} = \frac{0.81915204}{12}$

Этап 9.1.3

Разделим $0.81915204$ на $12$ .

$\frac{0.78932543}{c} = 0.06826267$

Этап 9.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 1$

Этап 9.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$c$

Этап 9.3

Каждый член в $\frac{0.78932543}{c} = 0.06826267$ умножим на $c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.78932543}{c} = 0.06826267$ на $c$ .

$\frac{0.78932543}{c} c = 0.06826267 c$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.78932543}{c} c = 0.06826267 c$

Этап 9.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.78932543 = 0.06826267 c$

Этап 9.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.06826267 c = 0.78932543$ .

$0.06826267 c = 0.78932543$

Этап 9.4.2

Разделим каждый член $0.06826267 c = 0.78932543$ на $0.06826267$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Разделим каждый член $0.06826267 c = 0.78932543$ на $0.06826267$ .

$\frac{0.06826267 c}{0.06826267} = \frac{0.78932543}{0.06826267}$

Этап 9.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.06826267$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.06826267 c}{0.06826267} = \frac{0.78932543}{0.06826267}$

Этап 9.4.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{0.78932543}{0.06826267}$

Этап 9.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.3.1

Разделим $0.78932543$ на $0.06826267$ .

$c = 11.56306118$

Этап 10

Для второго треугольника воспользуемся вторым возможным значением угла.

Найдем решение для второго треугольника.

Этап 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 12

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $B$ .

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (55)}{12}$

Этап 13

Решим уравнение относительно $B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим обе части уравнения на $14$ .

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Этап 13.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Этап 13.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Этап 13.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Упростим $14 \frac{\sin (55)}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$\sin (B) = 2 (7) \frac{\sin (55)}{12}$

Этап 13.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 7 \frac{\sin (55)}{2 \cdot 6}$

Этап 13.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\sin (B) = 2 \cdot 7 \frac{\sin (55)}{2 \cdot 6}$

Этап 13.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\sin (B) = 7 \frac{\sin (55)}{6}$

Этап 13.2.2.1.2

Объединим $7$ и $\frac{\sin (55)}{6}$ .

$\sin (B) = \frac{7 \sin (55)}{6}$

Этап 13.2.2.1.3

Найдем значение $\sin (55)$ .

$\sin (B) = \frac{7 \cdot 0.81915204}{6}$

Этап 13.2.2.1.4

Умножим $7$ на $0.81915204$ .

$\sin (B) = \frac{5.73406431}{6}$

Этап 13.2.2.1.5

Разделим $5.73406431$ на $6$ .

$\sin (B) = 0.95567738$

Этап 13.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $B$ из синуса.

$B = \arcsin (0.95567738)$

Этап 13.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Найдем значение $\arcsin (0.95567738)$ .

$B = 72.87748312$

Этап 13.5

$B = 180 - 72.87748312$

Этап 13.6

Вычтем $72.87748312$ из $180$ .

$B = 107.12251687$

Этап 13.7

Решение уравнения $B = 72.87748312$ .

$B = 72.87748312, 107.12251687$

Этап 14

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$55 + C + 107.12251687 = 180$

Этап 15

Решим уравнение относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $55$ и $107.12251687$ .

$C + 162.12251687 = 180$

Этап 15.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вычтем $162.12251687$ из обеих частей уравнения.

$C = 180 - 162.12251687$

Этап 15.2.2

Вычтем $162.12251687$ из $180$ .

$C = 17.87748312$

Этап 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 17

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $c$ .

$\frac{\sin (17.87748312)}{c} = \frac{\sin (55)}{12}$

Этап 18

Решим уравнение относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Найдем значение $\sin (17.87748312)$ .

$\frac{0.30698262}{c} = \frac{\sin (55)}{12}$

Этап 18.1.2

Найдем значение $\sin (55)$ .

$\frac{0.30698262}{c} = \frac{0.81915204}{12}$

Этап 18.1.3

Разделим $0.81915204$ на $12$ .

$\frac{0.30698262}{c} = 0.06826267$

Этап 18.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$c, 1$

Этап 18.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$c$

Этап 18.3

Каждый член в $\frac{0.30698262}{c} = 0.06826267$ умножим на $c$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.30698262}{c} = 0.06826267$ на $c$ .

$\frac{0.30698262}{c} c = 0.06826267 c$

Этап 18.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.1

Сократим общий множитель $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.30698262}{c} c = 0.06826267 c$

Этап 18.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.30698262 = 0.06826267 c$

Этап 18.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.06826267 c = 0.30698262$ .

$0.06826267 c = 0.30698262$

Этап 18.4.2

Разделим каждый член $0.06826267 c = 0.30698262$ на $0.06826267$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.1

Разделим каждый член $0.06826267 c = 0.30698262$ на $0.06826267$ .

$\frac{0.06826267 c}{0.06826267} = \frac{0.30698262}{0.06826267}$

Этап 18.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.06826267$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.06826267 c}{0.06826267} = \frac{0.30698262}{0.06826267}$

Этап 18.4.2.2.1.2

Разделим $c$ на $1$ .

$c = \frac{0.30698262}{0.06826267}$

Этап 18.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.3.1

Разделим $0.30698262$ на $0.06826267$ .

$c = 4.49707903$

Этап 19

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

Комбинация первого треугольника:

$A = 55$

$B = 72.87748312$

$C = 52.12251687$

$a = 12$

$b = 14$

$c = 11.56306118$

Комбинация второго треугольника:

$A = 55$

$B = 107.12251687$

$C = 17.87748312$

$a = 12$

$b = 14$

$c = 4.49707903$