Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 16$ , $\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Этап 1

Решим относительно $x$ в $\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{3} y = 16$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Этап 1.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y$ .

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 16$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 16$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Этап 1.2

Вычтем $\frac{y}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{2} = 16 - \frac{y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Этап 1.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{x}{2}) = 2 (16 - \frac{y}{3})$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Этап 1.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{x}{2}) = 2 (16 - \frac{y}{3})$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Этап 1.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (16 - \frac{y}{3})$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$x = 2 (16 - \frac{y}{3})$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$x = 2 (16 - \frac{y}{3})$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим $2 (16 - \frac{y}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 2 \cdot 16 + 2 (- \frac{y}{3})$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $2$ на $16$ .

$x = 32 + 2 (- \frac{y}{3})$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Этап 1.4.2.1.3

Умножим $2 (- \frac{y}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = 32 - 2 \frac{y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Этап 1.4.2.1.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{y}{3}$ .

$x = 32 + \frac{- 2 y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$x = 32 + \frac{- 2 y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Этап 1.4.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = 32 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$x = 32 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$x = 32 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$x = 32 - \frac{2 y}{3}$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Этап 1.5

Изменим порядок $32$ и $- \frac{2 y}{3}$ .

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $- \frac{2 y}{3} + 32$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $\frac{1}{6} x + \frac{1}{4} y = 9$ на $- \frac{2 y}{3} + 32$ .

$\frac{1}{6} \cdot (- \frac{2 y}{3} + 32) + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $\frac{1}{6} \cdot (- \frac{2 y}{3} + 32) + \frac{1}{4} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{6} \cdot (- \frac{2 y}{3}) + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 y}{3}$ в числитель.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 2 y}{3} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{- 2 y}{3} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$\frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{2 (- y)}{3} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.1.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 (- y)}{3} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.1.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- y}{3} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- y}{3} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.1.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{- y}{3}$ .

$\frac{- y}{3 \cdot 3} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{- y}{9} + \frac{1}{6} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{- y}{9} + \frac{1}{2 (3)} \cdot 32 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $32$ .

$\frac{- y}{9} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.1.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- y}{9} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.1.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- y}{9} + \frac{1}{3} \cdot 16 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{- y}{9} + \frac{1}{3} \cdot 16 + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.1.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $16$ .

$\frac{- y}{9} + \frac{16}{3} + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y}{9} + \frac{16}{3} + \frac{1}{4} y = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.1.8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y$ .

$- \frac{y}{9} + \frac{16}{3} + \frac{y}{4} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$- \frac{y}{9} + \frac{16}{3} + \frac{y}{4} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.2

Чтобы записать $- \frac{y}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{y}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y}{4} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.3

Чтобы записать $\frac{y}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{y}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Умножим $\frac{y}{9}$ на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{y \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{y}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.4.2

Умножим $9$ на $4$ .

$- \frac{y \cdot 4}{36} + \frac{y}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.4.3

Умножим $\frac{y}{4}$ на $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{y \cdot 4}{36} + \frac{y \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.4.4

Умножим $4$ на $9$ .

$- \frac{y \cdot 4}{36} + \frac{y \cdot 9}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$- \frac{y \cdot 4}{36} + \frac{y \cdot 9}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- y \cdot 4 + y \cdot 9}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- y \cdot 4 + y \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- y \cdot 4$ .

$\frac{y (- 1 \cdot 4) + y \cdot 9}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.6.1.1.2

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 9$ .

$\frac{y (- 1 \cdot 4) + y (9)}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.6.1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 \cdot 4) + y (9)$ .

$\frac{y (- 1 \cdot 4 + 9)}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{y (- 1 \cdot 4 + 9)}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.6.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{y (- 4 + 9)}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.6.1.3

Добавим $- 4$ и $9$ .

$\frac{y \cdot 5}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{y \cdot 5}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 2.2.1.6.2

Перенесем $5$ влево от $y$ .

$\frac{5 y}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{5 y}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{5 y}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{5 y}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{5 y}{36} + \frac{16}{3} = 9$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $\frac{5 y}{36} + \frac{16}{3} = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $\frac{16}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{5 y}{36} = 9 - \frac{16}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.1.2

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 y}{36} = 9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.1.3

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 y}{36} = \frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 y}{36} = \frac{9 \cdot 3 - 16}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{5 y}{36} = \frac{27 - 16}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.1.5.2

Вычтем $16$ из $27$ .

$\frac{5 y}{36} = \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{5 y}{36} = \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{5 y}{36} = \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{36}{5}$ .

$\frac{36}{5} \cdot \frac{5 y}{36} = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим $\frac{36}{5} \cdot \frac{5 y}{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{36}{5} \cdot \frac{5 y}{36} = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5} \cdot (5 y) = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$\frac{1}{5} \cdot (5 y) = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 y$ .

$\frac{1}{5} \cdot (5 (y)) = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5} \cdot (5 y) = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим $\frac{36}{5} \cdot \frac{11}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$y = \frac{3 (12)}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 \cdot 12}{5} \cdot \frac{11}{3}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{12}{5} \cdot 11$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{12}{5} \cdot 11$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.3.2.1.2

Объединим $\frac{12}{5}$ и $11$ .

$y = \frac{12 \cdot 11}{5}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $12$ на $11$ .

$y = \frac{132}{5}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

$x = - \frac{2 y}{3} + 32$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $\frac{132}{5}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = - \frac{2 y}{3} + 32$ на $\frac{132}{5}$ .

$x = - \frac{2 (\frac{132}{5})}{3} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $- \frac{2 (\frac{132}{5})}{3} + 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Объединим $2$ и $\frac{132}{5}$ .

$x = - \frac{\frac{2 \cdot 132}{5}}{3} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим $2$ на $132$ .

$x = - \frac{\frac{264}{5}}{3} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

Этап 4.2.1.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - (\frac{264}{5} \cdot \frac{1}{3}) + 32$

$y = \frac{132}{5}$

Этап 4.2.1.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $264$ .

$x = - (\frac{3 (88)}{5} \cdot \frac{1}{3}) + 32$

$y = \frac{132}{5}$

Этап 4.2.1.1.4.2

Сократим общий множитель.

$x = - (\frac{3 \cdot 88}{5} \cdot \frac{1}{3}) + 32$

$y = \frac{132}{5}$

Этап 4.2.1.1.4.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{88}{5} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

$x = - \frac{88}{5} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

$x = - \frac{88}{5} + 32$

$y = \frac{132}{5}$

Этап 4.2.1.2

Чтобы записать $32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$x = - \frac{88}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

Этап 4.2.1.3

Объединим $32$ и $\frac{5}{5}$ .

$x = - \frac{88}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

Этап 4.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- 88 + 32 \cdot 5}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

Этап 4.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Умножим $32$ на $5$ .

$x = \frac{- 88 + 160}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

Этап 4.2.1.5.2

Добавим $- 88$ и $160$ .

$x = \frac{72}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

$x = \frac{72}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

$x = \frac{72}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

$x = \frac{72}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

$x = \frac{72}{5}$

$y = \frac{132}{5}$

Этап 5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\frac{72}{5}, \frac{132}{5})$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(\frac{72}{5}, \frac{132}{5})$

Форма уравнения:

$x = \frac{72}{5}, y = \frac{132}{5}$

Этап 7