Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{4} - x^{2} + 4}{x^{3} - x^{2}}$

Этап 1

Разделим, используя метод деления многочленов в столбик.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - x^{3} + 0 + 0$ .

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Этап 1.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2} + 0 + 0$ .

								$x$	+	$1$
$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
							-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
									+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
									-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$0$	-	$0$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

								$x$	+	$1$
$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
							-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
									+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
									-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$0$	-	$0$
															+	$4$

Этап 1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x + 1 + \frac{4}{x^{3} - x^{2}}$

Этап 2

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{4}{x^{2} x - x^{2}}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 1}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{4}{x^{2} (x - 1)}$

Этап 2.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$

Этап 2.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{4 (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.5.2

Разделим $4$ на $1$ .

$4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Сократим общий множитель.

$4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.1.2

Разделим $A (x - 1)$ на $1$ .

$4 = A (x - 1) + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = A x + A \cdot - 1 + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.3

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$4 = A x - 1 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.4

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$4 = A x - A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Вынесем множитель $x$ из $B (x^{2} (x - 1))$ .

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.5.2.3

Сократим общий множитель.

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.5.2.4

Перепишем это выражение.

$4 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.5.2.5

Разделим $B (x (x - 1))$ на $1$ .

$4 = A x - A + B (x (x - 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = A x - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.7

Умножим $x$ на $x$ .

$4 = A x - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.8

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$4 = A x - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.9

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$4 = A x - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.10

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = A x - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.12

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.1

Сократим общий множитель.

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Этап 2.6.12.2

Разделим $(C) (x^{2})$ на $1$ .

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + (C) (x^{2})$

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + C x^{2}$

Этап 2.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Перенесем $B$ .

$4 = A x - A + B x^{2} - x B + C x^{2}$

Этап 2.7.2

Перенесем $- A$ .

$4 = A x + B x^{2} - x B + C x^{2} - A$

Этап 2.7.3

Перенесем $- x B$ .

$4 = A x + B x^{2} + C x^{2} - x B - A$

Этап 2.7.4

Перенесем $A x$ .

$4 = B x^{2} + C x^{2} + A x - x B - A$

Этап 3

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B + C$

Этап 3.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A - 1 B$

Этап 3.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$4 = - 1 A$

Этап 3.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$4 = - 1 A$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$4 = - 1 A$

Этап 4

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Решим относительно $A$ в $4 = - 1 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 A = 4$ .

$- 1 A = 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Этап 4.1.2

Разделим каждый член $- 1 A = 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Разделим каждый член $- 1 A = 4$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Этап 4.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{A}{1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Этап 4.1.2.2.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Этап 4.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Разделим $4$ на $- 1$ .

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Этап 4.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A - 1 B$ на $- 4$ .

$0 = (- 4) - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Этап 4.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 4 - B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 - B = 0$ .

$- 4 - B = 0$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Этап 4.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$- B = 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3

Разделим каждый член $- B = 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим каждый член $- B = 4$ на $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{B}{1} = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.2.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Этап 4.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Разделим $4$ на $- 1$ .

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Этап 4.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = B + C$ на $- 4$ .

$0 = (- 4) + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

Этап 4.5

Решим относительно $C$ в $0 = - 4 + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 + C = 0$ .

$- 4 + C = 0$

$B = - 4$

$A = - 4$

Этап 4.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$C = 4$

$B = - 4$

$A = - 4$

$C = 4$

$B = - 4$

$A = - 4$

Этап 4.6

Решим систему уравнений.

$C = 4 B = - 4 A = - 4$

Этап 4.7

Перечислим все решения.

$C = 4, B = - 4, A = - 4$

Этап 5

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $x + 1 + \frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$x + 1 - \frac{4}{x^{2}} - \frac{4}{x} + \frac{4}{x - 1}$