Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Этап 1

Разделим, используя метод деления многочленов в столбик.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $x (x^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Этап 1.1.2

Изменим порядок $x$ и $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Этап 1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{1 + 2} + 1 x}$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + 1 x}$

Этап 1.1.6

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Этап 1.2

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 1.3

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 1.4

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Этап 1.5

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + 0 + x^{2} + 0$ .

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Этап 1.6

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

Этап 1.7

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

$1$

Этап 1.8

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x + \frac{2 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Этап 2

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x}$

Этап 2.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Этап 2.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Этап 2.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.5.2

Разделим $2 x^{2} + 1$ на $1$ .

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.6.1.2

Разделим $A (x^{2} + 1)$ на $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.6.3

Умножим $A$ на $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.6.4

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.6.4.2

Разделим $(B x + C) (x)$ на $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Этап 2.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Этап 2.6.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Этап 2.6.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Этап 2.7

Перенесем $A$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Этап 3

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A + B$

Этап 3.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C$

Этап 3.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 3.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Этап 4

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$1 = A$

Этап 4.2

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $2 = A + B$ на $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Избавимся от скобок.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 4.4

Решим относительно $B$ в $2 = 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем уравнение в виде $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 4.4.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 4.4.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

Этап 4.5

Решим систему уравнений.

$B = 1 A = 1 C = 0$

Этап 4.6

Перечислим все решения.

$B = 1, A = 1, C = 0$

Этап 5

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $x + \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1 x + 0}{x^{2} + 1}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Избавимся от скобок.

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Этап 6.2

Добавим $(1) \cdot x$ и $0$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

Этап 6.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} + 1}$