Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}$

Этап 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.4.2

Разделим $x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5$ на $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.5.1.2

Разделим $A x + B$ на $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ и $x^{2} - 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} - 2 x + 3$ из $(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Умножим на $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{(x^{2} - 2 x + 3) \cdot 1}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{(x^{2} - 2 x + 3) \cdot 1}$

Этап 1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)}{1}$

Этап 1.5.2.2.4

Разделим $(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$ на $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + (C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$

Этап 1.5.3

Развернем $(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Этап 1.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C (x^{2} x) + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Этап 1.5.4.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C (x^{2} x) + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Этап 1.5.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Этап 1.5.4.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Этап 1.5.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x \cdot x + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Этап 1.5.4.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C (x \cdot x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Этап 1.5.4.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Этап 1.5.4.4

Перенесем $3$ влево от $C x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 \cdot (C x) + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Этап 1.5.4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + D \cdot 3$

Этап 1.5.4.6

Перенесем $3$ влево от $D$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + 3 D$

Этап 1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перенесем $B$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + B + 3 D$

Этап 1.6.2

Перенесем $3 C x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + C x^{3} - 2 C x^{2} + D x^{2} + 3 C x - 2 D x + B + 3 D$

Этап 1.6.3

Перенесем $A x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = C x^{3} - 2 C x^{2} + D x^{2} + A x + 3 C x - 2 D x + B + 3 D$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{3}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 4 = - 2 C + D$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$9 = A + 3 C - 2 D$

Этап 2.4

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 5 = B + 3 D$

Этап 2.5

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = C$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

$1 = C$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 1$ .

$C = 1$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $C$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $C$ в $- 4 = - 2 C + D$ на $1$ .

$- 4 = - 2 \cdot 1 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $C$ в $9 = A + 3 C - 2 D$ на $1$ .

$9 = A + 3 (1) - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $3$ на $1$ .

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Этап 3.3

Решим относительно $D$ в $- 4 = - 2 + D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 + D = - 4$ .

$- 2 + D = - 4$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $D$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$D = - 4 + 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 4$ и $2$ .

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $D$ на $- 2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $D$ в $9 = A + 3 - 2 D$ на $- 2$ .

$9 = A + 3 - 2 \cdot - 2$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $A + 3 - 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$9 = A + 3 + 4$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $3$ и $4$ .

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $D$ в $- 5 = B + 3 D$ на $- 2$ .

$- 5 = B + 3 (- 2)$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Этап 3.4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Этап 3.5

Решим относительно $B$ в $- 5 = B - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $B - 6 = - 5$ .

$B - 6 = - 5$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$B = - 5 + 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Этап 3.5.2.2

Добавим $- 5$ и $6$ .

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $B$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $A + 7 = 9$ .

$A + 7 = 9$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

Этап 3.6.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$A = 9 - 7$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

Этап 3.6.2.2

Вычтем $7$ из $9$ .

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$A = 2, B = 1, D = - 2, C = 1$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} - 2 x + 3}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{1 x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $2$ на $x$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(1) \cdot x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$

Этап 5.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$