Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} + 5 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 13 x + 1}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{(x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 5 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{(x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} + 5 x + 3) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 13 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 5 x + 3) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Этап 1.5.2

Разделим $x^{2} + 5 x + 3$ на $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 5 x + 3 = \frac{A (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $(A) (x^{2} + 13 x + 1)$ на $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = (A) (x^{2} + 13 x + 1) + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + A (13 x) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Этап 1.6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Этап 1.6.3.2

Умножим $A$ на $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x^{2} + 13 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B x + C) (x + 1)$ на $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + (B x + C) (x + 1)$

Этап 1.6.5

Развернем $(B x + C) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x (x + 1) + C (x + 1)$

Этап 1.6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C (x + 1)$

Этап 1.6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Этап 1.6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.1.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Этап 1.6.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x^{2} + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Этап 1.6.6.2

Умножим $B$ на $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x^{2} + B x + C x + C \cdot 1$

Этап 1.6.6.3

Умножим $C$ на $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Этап 1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перенесем $A$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Этап 1.7.2

Изменим порядок $B$ и $x^{2}$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Этап 1.7.3

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Этап 1.7.4

Перенесем $A$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 x A + B x^{2} + B x + C x + A + C$

Этап 1.7.5

Перенесем $13 x A$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + B x^{2} + 13 x A + B x + C x + A + C$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = 13 A + B + C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$3 = A + C$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$5 = 13 A + B + C$

$3 = A + C$

$1 = A + B$

$5 = 13 A + B + C$

$3 = A + C$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$5 = 13 A + B + C$

$3 = A + C$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$5 = 13 A + B + C$

$3 = A + C$

$A = 1 - B$

$5 = 13 A + B + C$

$3 = A + C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $5 = 13 A + B + C$ на $1 - B$ .

$5 = 13 (1 - B) + B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $13 (1 - B) + B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = 13 \cdot 1 + 13 (- B) + B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $13$ на $1$ .

$5 = 13 + 13 (- B) + B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $13$ .

$5 = 13 - 13 B + B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

$5 = 13 - 13 B + B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $- 13 B$ и $B$ .

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $3 = A + C$ на $1 - B$ .

$3 = (1 - B) + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Избавимся от скобок.

$3 = 1 - B + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

$3 = 1 - B + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

$3 = 1 - B + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

Этап 3.3

Изменим порядок $1$ и $- B$ .

$A = - B + 1$

$3 = 1 - B + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

Этап 3.4

Решим относительно $C$ в $3 = 1 - B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $1 - B + C = 3$ .

$1 - B + C = 3$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

Этап 3.4.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- B + C = 3 - 1$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

Этап 3.4.2.2

Добавим $B$ к обеим частям уравнения.

$C = 3 - 1 + B$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

Этап 3.4.2.3

Вычтем $1$ из $3$ .

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

Этап 3.5

Заменим все вхождения $C$ на $2 + B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим все вхождения $C$ в $5 = 13 - 12 B + C$ на $2 + B$ .

$5 = 13 - 12 B + 2 + B$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Этап 3.5.2

Упростим $5 = 13 - 12 B + 2 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Избавимся от скобок.

$5 = 13 - 12 B + 2 + B$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + 2 + B$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Этап 3.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Упростим $13 - 12 B + 2 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Добавим $13$ и $2$ .

$5 = - 12 B + 15 + B$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Этап 3.5.2.2.1.2

Добавим $- 12 B$ и $B$ .

$5 = - 11 B + 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = - 11 B + 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = - 11 B + 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = - 11 B + 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = - 11 B + 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Этап 3.6

Решим относительно $B$ в $5 = - 11 B + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $- 11 B + 15 = 5$ .

$- 11 B + 15 = 5$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Этап 3.6.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$- 11 B = 5 - 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Этап 3.6.2.2

Вычтем $15$ из $5$ .

$- 11 B = - 10$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$- 11 B = - 10$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Этап 3.6.3

Разделим каждый член $- 11 B = - 10$ на $- 11$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Разделим каждый член $- 11 B = - 10$ на $- 11$ .

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 10}{- 11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Этап 3.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1

Сократим общий множитель $- 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 10}{- 11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Этап 3.6.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 10}{- 11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 10}{- 11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 10}{- 11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Этап 3.6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$B = \frac{10}{11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{10}{11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{10}{11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{10}{11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Этап 3.7

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{10}{11}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Заменим все вхождения $B$ в $C = 2 + B$ на $\frac{10}{11}$ .

$C = 2 + \frac{10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Этап 3.7.2

Упростим $C = 2 + \frac{10}{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Избавимся от скобок.

$C = 2 + \frac{10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

$C = 2 + \frac{10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Этап 3.7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Упростим $2 + \frac{10}{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{11}{11}$ .

$C = 2 \cdot \frac{11}{11} + \frac{10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Этап 3.7.2.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{11}{11}$ .

$C = \frac{2 \cdot 11}{11} + \frac{10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Этап 3.7.2.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$C = \frac{2 \cdot 11 + 10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Этап 3.7.2.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1.4.1

Умножим $2$ на $11$ .

$C = \frac{22 + 10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Этап 3.7.2.2.1.4.2

Добавим $22$ и $10$ .

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Этап 3.7.3

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B + 1$ на $\frac{10}{11}$ .

$A = - (\frac{10}{11}) + 1$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

Этап 3.7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Упростим $- (\frac{10}{11}) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = - \frac{10}{11} + \frac{11}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

Этап 3.7.4.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{- 10 + 11}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

Этап 3.7.4.1.3

Добавим $- 10$ и $11$ .

$A = \frac{1}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = \frac{1}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = \frac{1}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = \frac{1}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

Этап 3.8

Перечислим все решения.

$A = \frac{1}{11}, C = \frac{32}{11}, B = \frac{10}{11}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 13 x + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{\frac{1}{11}}{x + 1} + \frac{\frac{10}{11 x} + \frac{32}{11}}{x^{2} + 13 x + 1}$

Этап 5

Объединим $\frac{10}{11}$ и $x$ .

$\frac{\frac{1}{11}}{x + 1} + \frac{\frac{10 x}{11} + \frac{32}{11}}{x^{2} + 13 x + 1}$