Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x}{x^{2} - 16 x + 63}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{2} - 16 x + 63$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $63$ , а сумма — $- 16$ .

$- 9, - 7$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x}{(x - 9) (x - 7)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 9}$

Этап 1.3

$\frac{A}{x - 9} + \frac{B}{x - 7}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 9) (x - 7)$ .

$\frac{x (x - 9) (x - 7)}{(x - 9) (x - 7)} = \frac{(A) (x - 9) (x - 7)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x - 9) (x - 7)}{(x - 9) (x - 7)} = \frac{(A) (x - 9) (x - 7)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x (x - 7)}{x - 7} = \frac{(A) (x - 9) (x - 7)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x - 7)}{x - 7} = \frac{(A) (x - 9) (x - 7)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Этап 1.6.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{(A) (x - 9) (x - 7)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель $x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{A (x - 9) (x - 7)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $(A) (x - 7)$ на $1$ .

$x = (A) (x - 7) + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A x + A \cdot - 7 + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Этап 1.7.3

Перенесем $- 7$ влево от $A$ .

$x = A x - 7 \cdot A + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$x = A x - 7 A + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Этап 1.7.4.2

Разделим $(B) (x - 9)$ на $1$ .

$x = A x - 7 A + (B) (x - 9)$

Этап 1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A x - 7 A + B x + B \cdot - 9$

Этап 1.7.6

Перенесем $- 9$ влево от $B$ .

$x = A x - 7 A + B x - 9 B$

Этап 1.8

Перенесем $- 7 A$ .

$x = A x + B x - 7 A - 9 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 7 A - 9 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$0 = - 7 A - 9 B$

$1 = A + B$

$0 = - 7 A - 9 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 7 A - 9 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$0 = - 7 A - 9 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 7 A - 9 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 7 A - 9 B$ на $1 - B$ .

$0 = - 7 (1 - B) - 9 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $- 7 (1 - B) - 9 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 7 \cdot 1 - 7 (- B) - 9 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $- 7$ на $1$ .

$0 = - 7 - 7 (- B) - 9 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$0 = - 7 + 7 B - 9 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 7 + 7 B - 9 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $9 B$ из $7 B$ .

$0 = - 7 - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 7 - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 7 - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 7 - 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 7 - 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 7 - 2 B = 0$ .

$- 7 - 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$- 2 B = 7$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- 2 B = 7$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- 2 B = 7$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{7}{- 2}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{7}{- 2}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{7}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{7}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{7}{- 2}$

$A = 1 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{7}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{7}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{7}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{7}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- \frac{7}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $- \frac{7}{2}$ .

$A = 1 - (- \frac{7}{2})$

$B = - \frac{7}{2}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $1 - (- \frac{7}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- (- \frac{7}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = 1 + 1 (\frac{7}{2})$

$B = - \frac{7}{2}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим $\frac{7}{2}$ на $1$ .

$A = 1 + \frac{7}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

$A = 1 + \frac{7}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

Этап 3.4.2.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

Этап 3.4.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{2 + 7}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

Этап 3.4.2.1.4

Добавим $2$ и $7$ .

$A = \frac{9}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

$A = \frac{9}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

$A = \frac{9}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

$A = \frac{9}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{9}{2}, B = - \frac{7}{2}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 9} + \frac{B}{x - 7}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{9}{2}}{x - 9} + \frac{- \frac{7}{2}}{x - 7}$