Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} = 116$ , $x - y = - 6$

Этап 1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$x = - 6 + y$

$x^{2} + y^{2} = 116$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $- 6 + y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + y^{2} = 116$ на $- 6 + y$ .

${(- 6 + y)}^{2} + y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(- 6 + y)}^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем ${(- 6 + y)}^{2}$ в виде $(- 6 + y) (- 6 + y)$ .

$(- 6 + y) (- 6 + y) + y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

Этап 2.2.1.1.2

Развернем $(- 6 + y) (- 6 + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 (- 6 + y) + y (- 6 + y) + y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

Этап 2.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 \cdot - 6 - 6 y + y (- 6 + y) + y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

Этап 2.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 \cdot - 6 - 6 y + y \cdot - 6 + y \cdot y + y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

$- 6 \cdot - 6 - 6 y + y \cdot - 6 + y \cdot y + y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

Этап 2.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.1

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$36 - 6 y + y \cdot - 6 + y \cdot y + y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

Этап 2.2.1.1.3.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $y$ .

$36 - 6 y - 6 \cdot y + y \cdot y + y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

Этап 2.2.1.1.3.1.3

Умножим $y$ на $y$ .

$36 - 6 y - 6 y + y^{2} + y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

$36 - 6 y - 6 y + y^{2} + y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

Этап 2.2.1.1.3.2

Вычтем $6 y$ из $- 6 y$ .

$36 - 12 y + y^{2} + y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

$36 - 12 y + y^{2} + y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

$36 - 12 y + y^{2} + y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

Этап 2.2.1.2

Добавим $y^{2}$ и $y^{2}$ .

$36 - 12 y + 2 y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

$36 - 12 y + 2 y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

$36 - 12 y + 2 y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

$36 - 12 y + 2 y^{2} = 116$

$x = - 6 + y$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $36 - 12 y + 2 y^{2} = 116$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $116$ из обеих частей уравнения.

$36 - 12 y + 2 y^{2} - 116 = 0$

$x = - 6 + y$

Этап 3.2

Вычтем $116$ из $36$ .

$- 12 y + 2 y^{2} - 80 = 0$

$x = - 6 + y$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12 y + 2 y^{2} - 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12 y$ .

$2 (- 6 y) + 2 y^{2} - 80 = 0$

$x = - 6 + y$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{2}$ .

$2 (- 6 y) + 2 (y^{2}) - 80 = 0$

$x = - 6 + y$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 80$ .

$2 (- 6 y) + 2 y^{2} + 2 \cdot - 40 = 0$

$x = - 6 + y$

Этап 3.3.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 6 y) + 2 y^{2}$ .

$2 (- 6 y + y^{2}) + 2 \cdot - 40 = 0$

$x = - 6 + y$

Этап 3.3.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 6 y + y^{2}) + 2 \cdot - 40$ .

$2 (- 6 y + y^{2} - 40) = 0$

$x = - 6 + y$

$2 (- 6 y + y^{2} - 40) = 0$

$x = - 6 + y$

Этап 3.3.2

Пусть $u = y$ . Подставим $u$ вместо $y$ для всех.

$2 (- 6 u + u^{2} - 40) = 0$

$x = - 6 + y$

Этап 3.3.3

Разложим $- 6 u + u^{2} - 40$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 40$ , а сумма — $- 6$ .

$- 10, 4$

$x = - 6 + y$

Этап 3.3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((u - 10) (u + 4)) = 0$

$x = - 6 + y$

$2 ((u - 10) (u + 4)) = 0$

$x = - 6 + y$

Этап 3.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 ((y - 10) (y + 4)) = 0$

$x = - 6 + y$

Этап 3.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (y - 10) (y + 4) = 0$

$x = - 6 + y$

$2 (y - 10) (y + 4) = 0$

$x = - 6 + y$

$2 (y - 10) (y + 4) = 0$

$x = - 6 + y$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 10 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = - 6 + y$

Этап 3.5

Приравняем $y - 10$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $y - 10$ к $0$ .

$y - 10 = 0$

$x = - 6 + y$

Этап 3.5.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$y = 10$

$x = - 6 + y$

$y = 10$

$x = - 6 + y$

Этап 3.6

Приравняем $y + 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $y + 4$ к $0$ .

$y + 4 = 0$

$x = - 6 + y$

Этап 3.6.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$y = - 4$

$x = - 6 + y$

$y = - 4$

$x = - 6 + y$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (y - 10) (y + 4) = 0$ верно.

$y = 10, - 4$

$x = - 6 + y$

$y = 10, - 4$

$x = - 6 + y$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $10$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = - 6 + y$ на $10$ .

$x = - 6 + 10$

$y = 10$

Этап 4.2

Упростим $x = - 6 + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Избавимся от скобок.

$x = - 6 + 10$

$y = 10$

$x = - 6 + 10$

$y = 10$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $- 6$ и $10$ .

$x = 4$

$y = 10$

$x = 4$

$y = 10$

$x = 4$

$y = 10$

$x = 4$

$y = 10$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = - 6 + y$ на $- 4$ .

$x = - 6 - 4$

$y = - 4$

Этап 5.2

Упростим $x = - 6 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Избавимся от скобок.

$x = - 6 - 4$

$y = - 4$

$x = - 6 - 4$

$y = - 4$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $4$ из $- 6$ .

$x = - 10$

$y = - 4$

$x = - 10$

$y = - 4$

$x = - 10$

$y = - 4$

$x = - 10$

$y = - 4$

Этап 6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(4, 10)$

$(- 10, - 4)$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(4, 10), (- 10, - 4)$

Форма уравнения:

$x = 4, y = 10$

$x = - 10, y = - 4$

Этап 8