Основы мат. анализа Примеры

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 15 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 65 ° \\ C = & 45 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $b$ .

$\frac{\sin (65 °)}{b} = \frac{\sin (45 °)}{15}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Найдем значение $\sin (65 °)$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sin (45 °)}{15}$

Этап 3.1.2

Точное значение $\sin (45 °)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{15}$

Этап 3.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$

Этап 3.1.4

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{15}$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 15}$

Этап 3.1.4.2

Умножим $2$ на $15$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{30}$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$b, 30$

Этап 3.2.2

Так как $b, 30$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 30$ , затем найдем НОК для части с переменной $b^{1}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.5

Простыми множителями $30$ являются $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

У $30$ есть множители: $2$ и $15$ .

$2 \cdot 15$

Этап 3.2.5.2

У $15$ есть множители: $3$ и $5$ .

$2 \cdot 3 \cdot 5$

Этап 3.2.6

Умножим $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 \cdot 5$

Этап 3.2.6.2

Умножим $6$ на $5$ .

$30$

Этап 3.2.7

Множителем $b^{1}$ является само значение $b$ .

$b^{1} = b$

$b$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.8

НОК $b^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$b$

Этап 3.2.9

НОК $b, 30$ представляет собой произведение числовой части $30$ и переменной части.

$30 b$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ умножим на $30 b$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{30}$ на $30 b$ .

$\frac{0.90630778}{b} (30 b) = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$30 \frac{0.90630778}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $30 \frac{0.90630778}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Объединим $30$ и $\frac{0.90630778}{b}$ .

$\frac{30 \cdot 0.90630778}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Этап 3.3.2.2.2

Умножим $30$ на $0.90630778$ .

$\frac{27.18923361}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Этап 3.3.2.3

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27.18923361}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Этап 3.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$27.18923361 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $30$ из $30 b$ .

$27.18923361 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 (b))$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$27.18923361 = \frac{\sqrt{2}}{30} (30 b)$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$27.18923361 = \sqrt{2} b$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{2} b = 27.18923361$ .

$\sqrt{2} b = 27.18923361$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $\sqrt{2} b = 27.18923361$ на $\sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $\sqrt{2} b = 27.18923361$ на $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{27.18923361}{\sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{27.18923361}{\sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{27.18923361}{\sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Умножим $\frac{27.18923361}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{27.18923361}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.2.1

Умножим $\frac{27.18923361}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.3.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.3.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.4.2.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.2.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.4.2.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.2.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.2.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.2.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.4.2.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$b = \frac{27.18923361 \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.4.2.3.3

Умножим $27.18923361$ на $\sqrt{2}$ .

$b = \frac{38.45138292}{2}$

Этап 3.4.2.3.4

Разделим $38.45138292$ на $2$ .

$b = 19.22569146$

Этап 4

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$A + 45 ° + 65 ° = 180$

Этап 5

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $45 °$ и $65 °$ .

$A + 110 = 180$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $110$ из обеих частей уравнения.

$A = 180 - 110$

Этап 5.2.2

Вычтем $110$ из $180$ .

$A = 70$

Этап 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 7

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $a$ .

$\frac{\sin (70)}{a} = \frac{\sin (65 °)}{19.22569146}$

Этап 8

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Найдем значение $\sin (70)$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (65 °)}{19.22569146}$

Этап 8.1.2

Найдем значение $\sin (65 °)$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{0.90630778}{19.22569146}$

Этап 8.1.3

Разделим $0.90630778$ на $19.22569146$ .

$\frac{0.93969262}{a} = 0.04714045$

Этап 8.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a, 1$

Этап 8.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$a$

Этап 8.3

Каждый член в $\frac{0.93969262}{a} = 0.04714045$ умножим на $a$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим каждый член $\frac{0.93969262}{a} = 0.04714045$ на $a$ .

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.04714045 a$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.04714045 a$

Этап 8.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$0.93969262 = 0.04714045 a$

Этап 8.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем уравнение в виде $0.04714045 a = 0.93969262$ .

$0.04714045 a = 0.93969262$

Этап 8.4.2

Разделим каждый член $0.04714045 a = 0.93969262$ на $0.04714045$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Разделим каждый член $0.04714045 a = 0.93969262$ на $0.04714045$ .

$\frac{0.04714045 a}{0.04714045} = \frac{0.93969262}{0.04714045}$

Этап 8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $0.04714045$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.04714045 a}{0.04714045} = \frac{0.93969262}{0.04714045}$

Этап 8.4.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{0.93969262}{0.04714045}$

Этап 8.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Разделим $0.93969262$ на $0.04714045$ .

$a = 19.93389073$

Этап 9

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 70$

$B = 65 °$

$C = 45 °$

$a = 19.93389073$

$b = 19.22569146$

$c = 15$