Основы мат. анализа Примеры

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 8 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 120 ° \\ C = & 45 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Этап 1

Теорема синусов основана на пропорциональности сторон и углов в треугольниках. Закон гласит, что для углов непрямого треугольника стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 2

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $b$ .

$\frac{\sin (120 °)}{b} = \frac{\sin (45 °)}{8}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\sin (60)}{b} = \frac{\sin (45 °)}{8}$

Этап 3.1.1.2

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (45 °)}{8}$

Этап 3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (45 °)}{8}$

Этап 3.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{b}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (45 °)}{8}$

Этап 3.1.4

Точное значение $\sin (45 °)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{8}$

Этап 3.1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Этап 3.1.6

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.1.6.2

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sqrt{2}}{16}$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 b, 16$

Этап 3.2.2

Since $2 b, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 16$ then find LCM for the variable part $b^{1}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.2.5

Простыми множителями $16$ являются $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

У $16$ есть множители: $2$ и $8$ .

$2 \cdot 8$

Этап 3.2.5.2

У $8$ есть множители: $2$ и $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Этап 3.2.5.3

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 3.2.6

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 3.2.6.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8 \cdot 2$

Этап 3.2.6.3

Умножим $8$ на $2$ .

$16$

Этап 3.2.7

Множителем $b^{1}$ является само значение $b$ .

$b^{1} = b$

$b$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.8

НОК $b^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$b$

Этап 3.2.9

НОК $2 b, 16$ представляет собой произведение числовой части $16$ и переменной части.

$16 b$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sqrt{2}}{16}$ умножим на $16 b$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sqrt{2}}{16}$ на $16 b$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (16 b) = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 (8) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Этап 3.3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 b$ .

$2 (8) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Этап 3.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 8 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Этап 3.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$8 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Этап 3.3.2.3

Объединим $8$ и $\frac{\sqrt{3}}{b}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Этап 3.3.2.4

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \sqrt{3}}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Этап 3.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$8 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $16$ из $16 b$ .

$8 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 (b))$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$8 \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 b)$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$8 \sqrt{3} = \sqrt{2} b$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{2} b = 8 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{2} b = 8 \sqrt{3}$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $\sqrt{2} b = 8 \sqrt{3}$ на $\sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $\sqrt{2} b = 8 \sqrt{3}$ на $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Умножим $\frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.2.1

Умножим $\frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.3.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.4.2.3.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.4.2.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.2.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.4.2.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.2.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.2.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.2.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.4.2.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$b = \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.4.2.3.3

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8 \sqrt{3} \sqrt{2}$ .

$b = \frac{2 (4 \sqrt{3} \sqrt{2})}{2}$

Этап 3.4.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$b = \frac{2 (4 \sqrt{3} \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 3.4.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$b = \frac{2 (4 \sqrt{3} \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$b = \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{2}}{1}$

Этап 3.4.2.3.3.2.4

Разделим $4 \sqrt{3} \sqrt{2}$ на $1$ .

$b = 4 \sqrt{3} \sqrt{2}$

Этап 3.4.2.3.4

Умножим $4 \sqrt{3} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$b = 4 \sqrt{2 \cdot 3}$

Этап 3.4.2.3.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$b = 4 \sqrt{6}$

Этап 4

Сумма всех углов треугольника составляет $180$ градусов.

$A + 45 ° + 120 ° = 180$

Этап 5

Решим уравнение относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $45 °$ и $120 °$ .

$A + 165 = 180$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $165$ из обеих частей уравнения.

$A = 180 - 165$

Этап 5.2.2

Вычтем $165$ из $180$ .

$A = 15$

Этап 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Этап 7

Подставим известные значения в теорему синусов, чтобы найти $a$ .

$\frac{\sin (15)}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{\sin (45 - 30)}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.1.2

Выделим отрицательную часть.

$\frac{\sin (45 - (30))}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.1.3

Применим формулу для разности углов.

$\frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.1.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.1.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.1.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.1.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.1.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.1.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.1.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.1.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.1.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.1.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{1}{a}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sin (120 °)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sin (60)}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.4.2

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{4 \sqrt{6}}$

Этап 8.1.6

Умножим $\frac{1}{4 \sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{1}{4 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Этап 8.1.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.7.1

Умножим $\frac{1}{4 \sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 8.1.7.2

Перенесем $\sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Этап 8.1.7.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})}$

Этап 8.1.7.4

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})}$

Этап 8.1.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 8.1.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 {\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 8.1.7.7

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.7.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.1.7.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.1.7.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.1.7.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.7.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.1.7.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot 6^{1}}$

Этап 8.1.7.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{4 \cdot 6}$

Этап 8.1.8

Умножим $4$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{24}$

Этап 8.1.9

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.9.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{\sqrt{6}}{24}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{6}}{2 \cdot 24}$

Этап 8.1.9.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3 \cdot 6}}{2 \cdot 24}$

Этап 8.1.9.3

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{18}}{2 \cdot 24}$

Этап 8.1.9.4

Умножим $2$ на $24$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{18}}{48}$

Этап 8.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.10.1

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.10.1.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{9 (2)}}{48}$

Этап 8.1.10.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}{48}$

Этап 8.1.10.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{3 \sqrt{2}}{48}$

Этап 8.1.11

Сократим общий множитель $3$ и $48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.11.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{3 (\sqrt{2})}{48}$

Этап 8.1.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $48$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{3 \sqrt{2}}{3 \cdot 16}$

Этап 8.1.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{3 \sqrt{2}}{3 \cdot 16}$

Этап 8.1.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{2}}{16}$

Этап 8.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 a, 16$

Этап 8.2.2

Since $4 a, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 16$ then find LCM for the variable part $a^{1}$ .

Этап 8.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 8.2.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 8.2.5

Простыми множителями $16$ являются $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

У $16$ есть множители: $2$ и $8$ .

$2 \cdot 8$

Этап 8.2.5.2

У $8$ есть множители: $2$ и $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Этап 8.2.5.3

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 8.2.6

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 8.2.6.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8 \cdot 2$

Этап 8.2.6.3

Умножим $8$ на $2$ .

$16$

Этап 8.2.7

Множителем $a^{1}$ является само значение $a$ .

$a^{1} = a$

$a$ встречается $1$ раз.

Этап 8.2.8

НОК $a^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$a$

Этап 8.2.9

НОК $4 a, 16$ представляет собой произведение числовой части $16$ и переменной части.

$16 a$

Этап 8.3

Каждый член в $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{2}}{16}$ умножим на $16 a$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим каждый член $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sqrt{2}}{16}$ на $16 a$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} (16 a) = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Этап 8.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 (4) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Этап 8.3.2.2.2

Вынесем множитель $4$ из $4 a$ .

$4 (4) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 (a)} a = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Этап 8.3.2.2.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Этап 8.3.2.2.4

Перепишем это выражение.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a} a = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Этап 8.3.2.3

Объединим $4$ и $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a}$ .

$\frac{4 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{a} a = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Этап 8.3.2.4

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{a} a = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Этап 8.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$4 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Этап 8.3.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \sqrt{6} + 4 (- \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Этап 8.3.2.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Этап 8.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.1

Вынесем множитель $16$ из $16 a$ .

$4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 (a))$

Этап 8.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{16} (16 a)$

Этап 8.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2} = \sqrt{2} a$

Этап 8.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{2} a = 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} a = 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2}$

Этап 8.4.2

Разделим каждый член $\sqrt{2} a = 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2}$ на $\sqrt{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Разделим каждый член $\sqrt{2} a = 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{2}$ на $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} a}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{- 4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} a}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{- 4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.4.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{4 \sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{- 4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1.1

Объединим $\sqrt{6}$ и $\sqrt{2}$ под одним знаком корня.

$a = 4 \sqrt{\frac{6}{2}} + \frac{- 4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.4.2.3.1.2

Разделим $6$ на $2$ .

$a = 4 \sqrt{3} + \frac{- 4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.4.2.3.1.3

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$a = 4 \sqrt{3} + \frac{- 4 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.4.2.3.1.3.2

Разделим $- 4$ на $1$ .

$a = 4 \sqrt{3} - 4$

Этап 9

Это результаты для всех углов и сторон данного треугольника.

$A = 15$

$B = 120 °$

$C = 45 °$

$a = 4 \sqrt{3} - 4$

$b = 4 \sqrt{6}$

$c = 8$