Основы мат. анализа Примеры

$\frac{6 x^{2} + 19 x}{(x + 4) (x^{2} + 4)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x^{2} + 19 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{x (6 x) + 19 x}{(x + 4) (x^{2} + 4)}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $19 x$ .

$\frac{x (6 x) + x \cdot 19}{(x + 4) (x^{2} + 4)}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (6 x) + x \cdot 19$ .

$\frac{x (6 x + 19)}{(x + 4) (x^{2} + 4)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 4}$

Этап 1.3

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x + 4} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 4) (x^{2} + 4)$ .

$\frac{x (6 x + 19) (x + 4) (x^{2} + 4)}{(x + 4) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x + 4} + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (6 x + 19) (x + 4) (x^{2} + 4)}{(x + 4) (x^{2} + 4)} = \frac{(A) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x + 4} + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.5.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x (6 x + 19) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x + 4} + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (6 x + 19) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{(A) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x + 4} + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.5.2.2

Разделим $x (6 x + 19)$ на $1$ .

$x (6 x + 19) = \frac{(A) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x + 4} + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (6 x) + x \cdot 19 = \frac{(A) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x + 4} + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.5.4

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x \cdot x + x \cdot 19 = \frac{(A) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x + 4} + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.5.4.2

Перенесем $19$ влево от $x$ .

$6 x \cdot x + 19 \cdot x = \frac{(A) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x + 4} + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перенесем $x$ .

$6 (x \cdot x) + 19 \cdot x = \frac{(A) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x + 4} + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x^{2} + 19 \cdot x = \frac{(A) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x + 4} + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

$6 x^{2} + 19 x = \frac{(A) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x + 4} + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$6 x^{2} + 19 x = \frac{A (x + 4) (x^{2} + 4)}{x + 4} + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $(A) (x^{2} + 4)$ на $1$ .

$6 x^{2} + 19 x = (A) (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 19 x = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.7.3

Перенесем $4$ влево от $A$ .

$6 x^{2} + 19 x = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель $x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$6 x^{2} + 19 x = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$

Этап 1.7.4.2

Разделим $(B x + C) (x + 4)$ на $1$ .

$6 x^{2} + 19 x = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x + 4)$

Этап 1.7.5

Развернем $(B x + C) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 19 x = A x^{2} + 4 A + B x (x + 4) + C (x + 4)$

Этап 1.7.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 19 x = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 4 + C (x + 4)$

Этап 1.7.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 19 x = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + B x \cdot 4 + C x + C \cdot 4$

Этап 1.7.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1.1

Перенесем $x$ .

$6 x^{2} + 19 x = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 4 + C x + C \cdot 4$

Этап 1.7.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x^{2} + 19 x = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + B x \cdot 4 + C x + C \cdot 4$

Этап 1.7.6.2

Перенесем $4$ влево от $B x$ .

$6 x^{2} + 19 x = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 4 \cdot (B x) + C x + C \cdot 4$

Этап 1.7.6.3

Перенесем $4$ влево от $C$ .

$6 x^{2} + 19 x = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 4 B x + C x + 4 C$

Этап 1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перенесем $B$ .

$6 x^{2} + 19 x = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + 4 x B + C x + 4 C$

Этап 1.8.2

Перенесем $4 A$ .

$6 x^{2} + 19 x = A x^{2} + B x^{2} + 4 x B + C x + 4 A + 4 C$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$6 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$19 = 4 B + C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 4 A + 4 C$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$6 = A + B$

$19 = 4 B + C$

$0 = 4 A + 4 C$

$6 = A + B$

$19 = 4 B + C$

$0 = 4 A + 4 C$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $6 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 6$ .

$A + B = 6$

$19 = 4 B + C$

$0 = 4 A + 4 C$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 6 - B$

$19 = 4 B + C$

$0 = 4 A + 4 C$

$A = 6 - B$

$19 = 4 B + C$

$0 = 4 A + 4 C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $6 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 4 A + 4 C$ на $6 - B$ .

$0 = 4 (6 - B) + 4 C$

$A = 6 - B$

$19 = 4 B + C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = 4 \cdot 6 + 4 (- B) + 4 C$

$A = 6 - B$

$19 = 4 B + C$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $4$ на $6$ .

$0 = 24 + 4 (- B) + 4 C$

$A = 6 - B$

$19 = 4 B + C$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$0 = 24 - 4 B + 4 C$

$A = 6 - B$

$19 = 4 B + C$

$0 = 24 - 4 B + 4 C$

$A = 6 - B$

$19 = 4 B + C$

$0 = 24 - 4 B + 4 C$

$A = 6 - B$

$19 = 4 B + C$

$0 = 24 - 4 B + 4 C$

$A = 6 - B$

$19 = 4 B + C$

Этап 3.3

Изменим порядок $6$ и $- B$ .

$A = - B + 6$

$0 = 24 - 4 B + 4 C$

$19 = 4 B + C$

Этап 3.4

Решим относительно $C$ в $19 = 4 B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $4 B + C = 19$ .

$4 B + C = 19$

$A = - B + 6$

$0 = 24 - 4 B + 4 C$

Этап 3.4.2

Вычтем $4 B$ из обеих частей уравнения.

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

$0 = 24 - 4 B + 4 C$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

$0 = 24 - 4 B + 4 C$

Этап 3.5

Заменим все вхождения $C$ на $19 - 4 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим все вхождения $C$ в $0 = 24 - 4 B + 4 C$ на $19 - 4 B$ .

$0 = 24 - 4 B + 4 (19 - 4 B)$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $24 - 4 B + 4 (19 - 4 B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = 24 - 4 B + 4 \cdot 19 + 4 (- 4 B)$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

Этап 3.5.2.1.1.2

Умножим $4$ на $19$ .

$0 = 24 - 4 B + 76 + 4 (- 4 B)$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

Этап 3.5.2.1.1.3

Умножим $- 4$ на $4$ .

$0 = 24 - 4 B + 76 - 16 B$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

$0 = 24 - 4 B + 76 - 16 B$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

Этап 3.5.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.1

Добавим $24$ и $76$ .

$0 = - 4 B + 100 - 16 B$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

Этап 3.5.2.1.2.2

Вычтем $16 B$ из $- 4 B$ .

$0 = - 20 B + 100$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

$0 = - 20 B + 100$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

$0 = - 20 B + 100$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

$0 = - 20 B + 100$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

$0 = - 20 B + 100$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

Этап 3.6

Решим относительно $B$ в $0 = - 20 B + 100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $- 20 B + 100 = 0$ .

$- 20 B + 100 = 0$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

Этап 3.6.2

Вычтем $100$ из обеих частей уравнения.

$- 20 B = - 100$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

Этап 3.6.3

Разделим каждый член $- 20 B = - 100$ на $- 20$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Разделим каждый член $- 20 B = - 100$ на $- 20$ .

$\frac{- 20 B}{- 20} = \frac{- 100}{- 20}$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

Этап 3.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1

Сократим общий множитель $- 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 20 B}{- 20} = \frac{- 100}{- 20}$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

Этап 3.6.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 100}{- 20}$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

$B = \frac{- 100}{- 20}$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

$B = \frac{- 100}{- 20}$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

Этап 3.6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.3.1

Разделим $- 100$ на $- 20$ .

$B = 5$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

$B = 5$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

$B = 5$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

$B = 5$

$C = 19 - 4 B$

$A = - B + 6$

Этап 3.7

Заменим все вхождения $B$ на $5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Заменим все вхождения $B$ в $C = 19 - 4 B$ на $5$ .

$C = 19 - 4 \cdot 5$

$B = 5$

$A = - B + 6$

Этап 3.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Упростим $19 - 4 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$C = 19 - 20$

$B = 5$

$A = - B + 6$

Этап 3.7.2.1.2

Вычтем $20$ из $19$ .

$C = - 1$

$B = 5$

$A = - B + 6$

$C = - 1$

$B = 5$

$A = - B + 6$

$C = - 1$

$B = 5$

$A = - B + 6$

Этап 3.7.3

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B + 6$ на $5$ .

$A = - (5) + 6$

$C = - 1$

$B = 5$

Этап 3.7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Упростим $- (5) + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$A = - 5 + 6$

$C = - 1$

$B = 5$

Этап 3.7.4.1.2

Добавим $- 5$ и $6$ .

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 5$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 5$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 5$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 5$

Этап 3.8

Перечислим все решения.

$A = 1, C = - 1, B = 5$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 4} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{1}{x + 4} + \frac{5 x - 1}{x^{2} + 4}$

Этап 5

Умножим $5$ на $x$ .

$\frac{1}{x + 4} + \frac{5 x - 1}{x^{2} + 4}$