Основы мат. анализа Примеры

$\frac{8}{x (1 - x)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$

Этап 1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (1 - x)$ .

$\frac{8 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{8 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.4.2

Разделим $8$ на $1$ .

$8 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$8 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.5.1.2

Разделим $A (1 - x)$ на $1$ .

$8 = A (1 - x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.5.3

Умножим $A$ на $1$ .

$8 = A + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 = A - A x + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.5.5

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Сократим общий множитель.

$8 = A - A x + \frac{B (x (1 - x))}{1 - x}$

Этап 1.5.5.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$8 = A - A x + (B) (x)$

$8 = A - A x + B x$

Этап 1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перенесем $A$ .

$8 = A - x A + B x$

Этап 1.6.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$8 = A - x A + B x$

Этап 1.6.3

Перенесем $A$ .

$8 = - x A + B x + A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$8 = A$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$8 = A$

$0 = - 1 A + B$

$8 = A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $A = 8$ .

$A = 8$

$0 = - 1 A + B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $8$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + B$ на $8$ .

$0 = - 1 \cdot 8 + B$

$A = 8$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$0 = - 8 + B$

$A = 8$

$0 = - 8 + B$

$A = 8$

$0 = - 8 + B$

$A = 8$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 8 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 8 + B = 0$ .

$- 8 + B = 0$

$A = 8$

Этап 3.3.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$B = 8$

$A = 8$

$B = 8$

$A = 8$

Этап 3.4

Решим систему уравнений.

$B = 8 A = 8$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$B = 8, A = 8$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{8}{x} + \frac{8}{1 - x}$