Основы мат. анализа Примеры

$\frac{(13 x + 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{(13 x + 2) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(13 x + 2) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(13 x + 2) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x^{2} + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(13 x + 2) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.5.2

Разделим $13 x + 2$ на $1$ .

$13 x + 2 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$13 x + 2 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $(A) (x^{2} + x + 1)$ на $1$ .

$13 x + 2 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.6.3

Умножим $A$ на $1$ .

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x^{2} + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B x + C) (x - 1)$ на $1$ .

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Этап 1.6.5

Развернем $(B x + C) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Этап 1.6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Этап 1.6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Этап 1.6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.1.1

Перенесем $x$ .

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Этап 1.6.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Этап 1.6.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $B x$ .

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Этап 1.6.6.3

Перепишем $- 1 (B x)$ в виде $- (B x)$ .

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Этап 1.6.6.4

Перенесем $- 1$ влево от $C$ .

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Этап 1.6.6.5

Перепишем $- 1 C$ в виде $- C$ .

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Этап 1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Изменим порядок $B$ и $x^{2}$ .

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Этап 1.7.2

Перенесем $B$ .

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Этап 1.7.3

Перенесем $A$ .

$13 x + 2 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Этап 1.7.4

Перенесем $A x$ .

$13 x + 2 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$13 = A - 1 B + C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A - 1 C$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$13 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$13 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$13 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$13 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

$A = - B$

$13 = A - 1 B + C$

$2 = A - 1 C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $13 = A - 1 B + C$ на $- B$ .

$13 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $(- B) - 1 B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$13 = - B - B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $B$ из $- B$ .

$13 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$13 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

$13 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = A - 1 C$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $2 = A - 1 C$ на $- B$ .

$2 = (- B) - 1 C$

$13 = - 2 B + C$

$A = - B$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перепишем $- 1 C$ в виде $- C$ .

$2 = - B - C$

$13 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$13 = - 2 B + C$

$A = - B$

$2 = - B - C$

$13 = - 2 B + C$

$A = - B$

Этап 3.3

Решим относительно $C$ в $13 = - 2 B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 B + C = 13$ .

$- 2 B + C = 13$

$2 = - B - C$

$A = - B$

Этап 3.3.2

Добавим $2 B$ к обеим частям уравнения.

$C = 13 + 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

$C = 13 + 2 B$

$2 = - B - C$

$A = - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $C$ на $13 + 2 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $C$ в $2 = - B - C$ на $13 + 2 B$ .

$2 = - B - (13 + 2 B)$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- B - (13 + 2 B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = - B - 1 \cdot 13 - (2 B)$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $13$ .

$2 = - B - 13 - (2 B)$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

Этап 3.4.2.1.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 = - B - 13 - 2 B$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$2 = - B - 13 - 2 B$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

Этап 3.4.2.1.2

Вычтем $2 B$ из $- B$ .

$2 = - 3 B - 13$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B - 13$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B - 13$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$2 = - 3 B - 13$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

Этап 3.5

Решим относительно $B$ в $2 = - 3 B - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 B - 13 = 2$ .

$- 3 B - 13 = 2$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $13$ к обеим частям уравнения.

$- 3 B = 2 + 13$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

Этап 3.5.2.2

Добавим $2$ и $13$ .

$- 3 B = 15$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$- 3 B = 15$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $- 3 B = 15$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $- 3 B = 15$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{15}{- 3}$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{15}{- 3}$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{15}{- 3}$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{15}{- 3}$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{15}{- 3}$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Разделим $15$ на $- 3$ .

$B = - 5$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$B = - 5$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$B = - 5$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

$B = - 5$

$C = 13 + 2 B$

$A = - B$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $B$ на $- 5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $B$ в $C = 13 + 2 B$ на $- 5$ .

$C = 13 + 2 (- 5)$

$B = - 5$

$A = - B$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Упростим $13 + 2 (- 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Умножим $2$ на $- 5$ .

$C = 13 - 10$

$B = - 5$

$A = - B$

Этап 3.6.2.1.2

Вычтем $10$ из $13$ .

$C = 3$

$B = - 5$

$A = - B$

$C = 3$

$B = - 5$

$A = - B$

$C = 3$

$B = - 5$

$A = - B$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $- 5$ .

$A = - (- 5)$

$C = 3$

$B = - 5$

Этап 3.6.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$A = 5$

$C = 3$

$B = - 5$

$A = 5$

$C = 3$

$B = - 5$

$A = 5$

$C = 3$

$B = - 5$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$A = 5, C = 3, B = - 5$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{5}{x - 1} + \frac{- 5 x + 3}{x^{2} + x + 1}$

Этап 5

Умножим $- 5$ на $x$ .

$\frac{5}{x - 1} + \frac{- 5 x + 3}{x^{2} + x + 1}$