Основы мат. анализа Примеры

$\frac{10 x + 20}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x$ .

$\frac{10 (x) + 20}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $10$ из $20$ .

$\frac{10 x + 10 \cdot 2}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $10$ из $10 x + 10 \cdot 2$ .

$\frac{10 (x + 2)}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{10 (x + 2)}{(x^{3} - 2 x^{2}) - 4 x + 8}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{10 (x + 2)}{x^{2} (x - 2) - 4 (x - 2)}$

Этап 1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 2$ .

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Этап 1.1.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2^{2})}$

Этап 1.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) ((x + 2) (x - 2))}$

Этап 1.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2) (x - 2)}$

Этап 1.1.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1} (x - 2) (x + 2)}$

Этап 1.1.6.2

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} (x + 2)}$

Этап 1.1.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1 + 1} (x + 2)}$

Этап 1.1.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Этап 1.1.7

Сократим выражение $\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Этап 1.1.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{10}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{10 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 1.5.2

Разделим $10$ на $1$ .

$10 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$10 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$10 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ и $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(B) {(x - 2)}^{2}$ .

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Этап 1.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.1

Умножим на $1$ .

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Этап 1.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Этап 1.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$10 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Этап 1.6.2.2.4

Разделим $B (x - 2)$ на $1$ .

$10 = A + B (x - 2)$

Этап 1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 = A + B x + B \cdot - 2$

Этап 1.6.4

Перенесем $- 2$ влево от $B$ .

$10 = A + B x - 2 B$

Этап 1.7

Изменим порядок $A$ и $B x$ .

$10 = B x + A - 2 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$10 = A - 2 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = B$

$10 = A - 2 B$

$0 = B$

$10 = A - 2 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $B = 0$ .

$B = 0$

$10 = A - 2 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $B$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $10 = A - 2 B$ на $0$ .

$10 = A - 2 \cdot 0$

$B = 0$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $A - 2 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$10 = A + 0$

$B = 0$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $A$ и $0$ .

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

Этап 3.3

Перепишем уравнение в виде $A = 10$ .

$A = 10$

$B = 0$

Этап 3.4

Решим систему уравнений.

$A = 10 B = 0$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = 10, B = 0$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{0}{x - 2}$