Основы мат. анализа Примеры

$\frac{10 x^{2} + 10 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)$ .

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 3 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.5.2

Разделим $10 x^{2} + 10 x + 3$ на $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = \frac{A (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $(A) (x^{2} + 3 x + 3)$ на $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = (A) (x^{2} + 3 x + 3) + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + A (3 x) + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.6.3.2

Перенесем $3$ влево от $A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x^{2} + 3 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B x + C) (x + 1)$ на $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + (B x + C) (x + 1)$

Этап 1.6.5

Развернем $(B x + C) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x (x + 1) + C (x + 1)$

Этап 1.6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C (x + 1)$

Этап 1.6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Этап 1.6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.1.1

Перенесем $x$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Этап 1.6.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Этап 1.6.6.2

Умножим $B$ на $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C \cdot 1$

Этап 1.6.6.3

Умножим $C$ на $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Этап 1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перенесем $A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Этап 1.7.2

Изменим порядок $B$ и $x^{2}$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Этап 1.7.3

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Этап 1.7.4

Перенесем $3 A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + B x^{2} + B x + C x + 3 A + C$

Этап 1.7.5

Перенесем $3 x A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + B x^{2} + 3 x A + B x + C x + 3 A + C$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$10 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$10 = 3 A + B + C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$3 = 3 A + C$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$10 = A + B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

$10 = A + B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $10 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 10$ .

$A + B = 10$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 10 - B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

$A = 10 - B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $10 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $10 = 3 A + B + C$ на $10 - B$ .

$10 = 3 (10 - B) + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (10 - B) + B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 = 3 \cdot 10 + 3 (- B) + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $3$ на $10$ .

$10 = 30 + 3 (- B) + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$10 = 30 - 3 B + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

$10 = 30 - 3 B + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $- 3 B$ и $B$ .

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $3 = 3 A + C$ на $10 - B$ .

$3 = 3 (10 - B) + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 = 3 \cdot 10 + 3 (- B) + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Этап 3.2.4.1.2

Умножим $3$ на $10$ .

$3 = 30 + 3 (- B) + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Этап 3.2.4.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Этап 3.3

Изменим порядок $10$ и $- B$ .

$A = - B + 10$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

Этап 3.4

Решим относительно $C$ в $3 = 30 - 3 B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $30 - 3 B + C = 3$ .

$30 - 3 B + C = 3$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Этап 3.4.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $30$ из обеих частей уравнения.

$- 3 B + C = 3 - 30$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Этап 3.4.2.2

Добавим $3 B$ к обеим частям уравнения.

$C = 3 - 30 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Этап 3.4.2.3

Вычтем $30$ из $3$ .

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Этап 3.5

Заменим все вхождения $C$ на $- 27 + 3 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим все вхождения $C$ в $10 = 30 - 2 B + C$ на $- 27 + 3 B$ .

$10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Этап 3.5.2

Упростим $10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Избавимся от скобок.

$10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Этап 3.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Упростим $30 - 2 B - 27 + 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Вычтем $27$ из $30$ .

$10 = - 2 B + 3 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Этап 3.5.2.2.1.2

Добавим $- 2 B$ и $3 B$ .

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Этап 3.6

Решим относительно $B$ в $10 = B + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $B + 3 = 10$ .

$B + 3 = 10$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Этап 3.6.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$B = 10 - 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Этап 3.6.2.2

Вычтем $3$ из $10$ .

$B = 7$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$B = 7$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$B = 7$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Этап 3.7

Заменим все вхождения $B$ на $7$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Заменим все вхождения $B$ в $C = - 27 + 3 B$ на $7$ .

$C = - 27 + 3 (7)$

$B = 7$

$A = - B + 10$

Этап 3.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Упростим $- 27 + 3 (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Умножим $3$ на $7$ .

$C = - 27 + 21$

$B = 7$

$A = - B + 10$

Этап 3.7.2.1.2

Добавим $- 27$ и $21$ .

$C = - 6$

$B = 7$

$A = - B + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = - B + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = - B + 10$

Этап 3.7.3

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B + 10$ на $7$ .

$A = - (7) + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

Этап 3.7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Упростим $- (7) + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$A = - 7 + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

Этап 3.7.4.1.2

Добавим $- 7$ и $10$ .

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

Этап 3.8

Перечислим все решения.

$A = 3, C = - 6, B = 7$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{7 x - 6}{x^{2} + 3 x + 3}$

Этап 5

Умножим $7$ на $x$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{7 x - 6}{x^{2} + 3 x + 3}$