Основы мат. анализа Примеры

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} - 11 x + 7}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 6 \cdot 7 = - 42$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 x$ .

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} - 11 (x) + 7}$

Этап 1.1.1.2

Запишем $- 11$ как $3$ плюс $- 14$

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} + (3 - 14) x + 7}$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{41 x - 37}{- 6 x^{2} + 3 x - 14 x + 7}$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{41 x - 37}{(- 6 x^{2} + 3 x) - 14 x + 7}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{41 x - 37}{3 x (- 2 x + 1) + 7 (- 2 x + 1)}$

Этап 1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 x + 1$ .

$\frac{41 x - 37}{(- 2 x + 1) (3 x + 7)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{- 2 x + 1}$

Этап 1.3

$\frac{A}{- 2 x + 1} + \frac{B}{3 x + 7}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(- 2 x + 1) (3 x + 7)$ .

$\frac{(41 x - 37) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{(- 2 x + 1) (3 x + 7)} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $- 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(41 x - 37) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{(- 2 x + 1) (3 x + 7)} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(41 x - 37) (3 x + 7)}{3 x + 7} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $3 x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(41 x - 37) (3 x + 7)}{3 x + 7} = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Этап 1.6.2

Разделим $41 x - 37$ на $1$ .

$41 x - 37 = \frac{(A) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель $- 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$41 x - 37 = \frac{A (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{- 2 x + 1} + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $(A) (3 x + 7)$ на $1$ .

$41 x - 37 = (A) (3 x + 7) + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$41 x - 37 = A (3 x) + A \cdot 7 + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Этап 1.7.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$41 x - 37 = 3 A x + A \cdot 7 + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Этап 1.7.4

Перенесем $7$ влево от $A$ .

$41 x - 37 = 3 A x + 7 \cdot A + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Этап 1.7.5

Сократим общий множитель $3 x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Сократим общий множитель.

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A + \frac{(B) (- 2 x + 1) (3 x + 7)}{3 x + 7}$

Этап 1.7.5.2

Разделим $(B) (- 2 x + 1)$ на $1$ .

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A + (B) (- 2 x + 1)$

Этап 1.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A + B (- 2 x) + B \cdot 1$

Этап 1.7.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A - 2 B x + B \cdot 1$

Этап 1.7.8

Умножим $B$ на $1$ .

$41 x - 37 = 3 A x + 7 A - 2 B x + B$

Этап 1.8

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перенесем $A$ .

$41 x - 37 = 3 x A + 7 A - 2 B x + B$

Этап 1.8.2

Перенесем $B$ .

$41 x - 37 = 3 x A + 7 A - 2 x B + B$

Этап 1.8.3

Перенесем $7 A$ .

$41 x - 37 = 3 x A - 2 x B + 7 A + B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$41 = 3 A - 2 B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 37 = 7 A + B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$41 = 3 A - 2 B$

$- 37 = 7 A + B$

$41 = 3 A - 2 B$

$- 37 = 7 A + B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $B$ в $- 37 = 7 A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $7 A + B = - 37$ .

$7 A + B = - 37$

$41 = 3 A - 2 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $7 A$ из обеих частей уравнения.

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 3 A - 2 B$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 3 A - 2 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $B$ на $- 37 - 7 A$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $41 = 3 A - 2 B$ на $- 37 - 7 A$ .

$41 = 3 A - 2 (- 37 - 7 A)$

$B = - 37 - 7 A$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 A - 2 (- 37 - 7 A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$41 = 3 A - 2 \cdot - 37 - 2 (- 7 A)$

$B = - 37 - 7 A$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $- 37$ .

$41 = 3 A + 74 - 2 (- 7 A)$

$B = - 37 - 7 A$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 7$ на $- 2$ .

$41 = 3 A + 74 + 14 A$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 3 A + 74 + 14 A$

$B = - 37 - 7 A$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $3 A$ и $14 A$ .

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

$41 = 17 A + 74$

$B = - 37 - 7 A$

Этап 3.3

Решим относительно $A$ в $41 = 17 A + 74$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $17 A + 74 = 41$ .

$17 A + 74 = 41$

$B = - 37 - 7 A$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $74$ из обеих частей уравнения.

$17 A = 41 - 74$

$B = - 37 - 7 A$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $74$ из $41$ .

$17 A = - 33$

$B = - 37 - 7 A$

$17 A = - 33$

$B = - 37 - 7 A$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $17 A = - 33$ на $17$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $17 A = - 33$ на $17$ .

$\frac{17 A}{17} = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{17 A}{17} = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = \frac{- 33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 - 7 A$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $A$ на $- \frac{33}{17}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $A$ в $B = - 37 - 7 A$ на $- \frac{33}{17}$ .

$B = - 37 - 7 (- \frac{33}{17})$

$A = - \frac{33}{17}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- 37 - 7 (- \frac{33}{17})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 7 (- \frac{33}{17})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$B = - 37 + 7 (\frac{33}{17})$

$A = - \frac{33}{17}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Объединим $7$ и $\frac{33}{17}$ .

$B = - 37 + \frac{7 \cdot 33}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Этап 3.4.2.1.1.3

Умножим $7$ на $33$ .

$B = - 37 + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - 37 + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Этап 3.4.2.1.2

Чтобы записать $- 37$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{17}{17}$ .

$B = - 37 \cdot \frac{17}{17} + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Этап 3.4.2.1.3

Объединим $- 37$ и $\frac{17}{17}$ .

$B = \frac{- 37 \cdot 17}{17} + \frac{231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Этап 3.4.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$B = \frac{- 37 \cdot 17 + 231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Этап 3.4.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.5.1

Умножим $- 37$ на $17$ .

$B = \frac{- 629 + 231}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Этап 3.4.2.1.5.2

Добавим $- 629$ и $231$ .

$B = \frac{- 398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = \frac{- 398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Этап 3.4.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

$B = - \frac{398}{17}$

$A = - \frac{33}{17}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$B = - \frac{398}{17}, A = - \frac{33}{17}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{- 2 x + 1} + \frac{B}{3 x + 7}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{33}{17}}{- 2 x + 1} + \frac{- \frac{398}{17}}{3 x + 7}$