Основы мат. анализа Примеры

$\frac{4}{3 x (5 x + 1)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{5 x + 1}$

Этап 1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $3 x (5 x + 1)$ .

$\frac{4 (3 x (5 x + 1))}{3 x (5 x + 1)} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (3 x (5 x + 1))}{3 x (5 x + 1)} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (x (5 x + 1))}{x (5 x + 1)} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x (5 x + 1))}{x (5 x + 1)} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (5 x + 1)}{5 x + 1} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $5 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (5 x + 1)}{5 x + 1} = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Этап 1.5.2

Разделим $4$ на $1$ .

$4 = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$4 = \frac{A (3 x (5 x + 1))}{x} + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $A (3 (5 x + 1))$ на $1$ .

$4 = A (3 (5 x + 1)) + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Этап 1.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 = 3 A (5 x + 1) + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Этап 1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = 3 A (5 x) + 3 A \cdot 1 + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Этап 1.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 = 3 \cdot (5 A x) + 3 A \cdot 1 + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Этап 1.6.5

Умножим $3$ на $1$ .

$4 = 3 \cdot (5 A x) + 3 A + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Этап 1.6.6

Умножим $3$ на $5$ .

$4 = 15 A x + 3 A + \frac{(B) (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Этап 1.6.7

Сократим общий множитель $5 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1

Сократим общий множитель.

$4 = 15 A x + 3 A + \frac{B (3 x (5 x + 1))}{5 x + 1}$

Этап 1.6.7.2

Разделим $(B) (3 x)$ на $1$ .

$4 = 15 A x + 3 A + (B) (3 x)$

Этап 1.6.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 = 15 A x + 3 A + 3 B x$

Этап 1.7

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перенесем $A$ .

$4 = 15 x A + 3 A + 3 B x$

Этап 1.7.2

Перенесем $B$ .

$4 = 15 x A + 3 A + 3 x B$

Этап 1.7.3

Перенесем $3 A$ .

$4 = 15 x A + 3 x B + 3 A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 15 A + 3 B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$4 = 3 A$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = 15 A + 3 B$

$4 = 3 A$

$0 = 15 A + 3 B$

$4 = 3 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $4 = 3 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $3 A = 4$ .

$3 A = 4$

$0 = 15 A + 3 B$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $3 A = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $3 A = 4$ на $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 A}{3} = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 15 A + 3 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{4}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 15 A + 3 B$ на $\frac{4}{3}$ .

$0 = 15 (\frac{4}{3}) + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$0 = 3 (5) (\frac{4}{3}) + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$0 = 3 \cdot (5 (\frac{4}{3})) + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

Этап 3.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$0 = 5 \cdot 4 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 5 \cdot 4 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $5$ на $4$ .

$0 = 20 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 20 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 20 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

$0 = 20 + 3 B$

$A = \frac{4}{3}$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $0 = 20 + 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $20 + 3 B = 0$ .

$20 + 3 B = 0$

$A = \frac{4}{3}$

Этап 3.3.2

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$3 B = - 20$

$A = \frac{4}{3}$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $3 B = - 20$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $3 B = - 20$ на $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

$B = \frac{- 20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

$B = \frac{- 20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

$B = - \frac{20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

$B = - \frac{20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

$B = - \frac{20}{3}$

$A = \frac{4}{3}$

Этап 3.4

Решим систему уравнений.

$B = - \frac{20}{3} A = \frac{4}{3}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$B = - \frac{20}{3}, A = \frac{4}{3}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{5 x + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{4}{3}}{x} + \frac{- \frac{20}{3}}{5 x + 1}$