Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{3} (x - 5)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{3} \cdot (y - 5)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{3} \cdot (y - 5) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot (y - 5) = x$

Этап 2.2

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot (y - 5)) = 3 x$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} \cdot (y - 5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (\frac{1}{3} y + \frac{1}{3} \cdot - 5) = 3 x$

Этап 2.3.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y$ .

$3 (\frac{y}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 5) = 3 x$

Этап 2.3.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 5$ .

$3 (\frac{y}{3} + \frac{- 5}{3}) = 3 x$

Этап 2.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (\frac{y}{3} - \frac{5}{3}) = 3 x$

Этап 2.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \frac{y}{3} + 3 (- \frac{5}{3}) = 3 x$

Этап 2.3.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y}{3} + 3 (- \frac{5}{3}) = 3 x$

Этап 2.3.1.6.2

Перепишем это выражение.

$y + 3 (- \frac{5}{3}) = 3 x$

Этап 2.3.1.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{3}$ в числитель.

$y + 3 (\frac{- 5}{3}) = 3 x$

Этап 2.3.1.7.2

Сократим общий множитель.

$y + 3 (\frac{- 5}{3}) = 3 x$

Этап 2.3.1.7.3

Перепишем это выражение.

$y - 5 = 3 x$

Этап 2.4

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 3 x + 5$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 3 x + 5$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 3 x + 5$ обратной к $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = 3 (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) + 5$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = 3 (\frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 5) + 5$

Этап 4.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = 3 (\frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 5) + 5$

Этап 4.2.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = 3 (\frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}) + 5$

Этап 4.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = 3 (\frac{x}{3} - \frac{5}{3}) + 5$

Этап 4.2.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 4.2.3.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 4.2.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = x + 3 (- \frac{5}{3}) + 5$

Этап 4.2.3.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{3}$ в числитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = x + 3 (\frac{- 5}{3}) + 5$

Этап 4.2.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = x + 3 (\frac{- 5}{3}) + 5$

Этап 4.2.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = x - 5 + 5$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 5 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (x - 5)) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (3 x + 5)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (3 x + 5) = \frac{1}{3} \cdot ((3 x + 5) - 5)$

Этап 4.3.3

Объединим противоположные члены в $(3 x + 5) - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$f (3 x + 5) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 0)$

Этап 4.3.3.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$f (3 x + 5) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f (3 x + 5) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Этап 4.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (3 x + 5) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Этап 4.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (3 x + 5) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 3 x + 5$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (x - 5)$ .

$f^{- 1} (x) = 3 x + 5$