Основы мат. анализа Примеры

$- 2 x^{2} - 1$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - 2 y^{2} - 1$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 y^{2} - 1 = x$ .

$- 2 y^{2} - 1 = x$

Этап 2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 y^{2} = x + 1$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 2 y^{2} = x + 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 2 y^{2} = x + 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{- 2}$

Этап 2.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 2.5

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{2}) - \frac{1}{2}}$

Этап 2.5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{1}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{2}) - (\frac{1}{2})}$

Этап 2.5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\frac{x}{2}) - (\frac{1}{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{2} + \frac{1}{2})}$

Этап 2.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

$y = - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ обратной к $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ и $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1]$

Этап 4.3

Найдем область определения $\sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- \frac{x + 1}{2} \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член $- \frac{x + 1}{2} \geq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Разделим каждый член $- \frac{x + 1}{2} \geq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- \frac{x + 1}{2}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{x + 1}{2}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3.2.1.2.2

Разделим $\frac{x + 1}{2}$ на $1$ .

$\frac{x + 1}{2} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\frac{x + 1}{2} \leq 0$

Этап 4.3.2.2

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{x + 1}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Этап 4.3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 1}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Этап 4.3.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x + 1 \leq 0 \cdot 2$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.1

Умножим $0$ на $2$ .

$x + 1 \leq 0$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \leq - 1$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1]$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ , представляет область определения $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$ — обратная к $f (x) = - 2 x^{2} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}, - \sqrt{- \frac{x + 1}{2}}$

Этап 5