Основы мат. анализа Примеры

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 4 & - 1 & - 1 \\ - 5 & - 1 & 2 \end{array}]$

Этап 1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов $0$ . Если элементов $0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке $1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией $-$ на схеме знаков.

Этап 1.3

Минор для $a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $1$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Этап 1.4

Умножим элемент $a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$3 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5

Минор для $a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} |$

Этап 1.6

Умножим элемент $a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$- 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} |$

Этап 1.7

Минор для $a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $3$ .

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.8

Умножим элемент $a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.9

Сложим члены.

$3 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 2

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (- 1 \cdot 2 - - - 1) - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (- 2 - - - 1) - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- - - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 (- 2 - 1 \cdot 1) - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 (- 2 - 1) - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.2.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$3 \cdot - 3 - 2 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (4 \cdot 2 - (- 5 \cdot - 1)) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $4$ на $2$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (8 - (- 5 \cdot - 1)) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- (- 5 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (8 - 1 \cdot 5) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$3 \cdot - 3 - 2 (8 - 5) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 3.2.2

Вычтем $5$ из $8$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 (4 \cdot - 1 - (- 5 \cdot - 1))$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 (- 4 - (- 5 \cdot - 1))$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- (- 5 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 (- 4 - 1 \cdot 5)$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 (- 4 - 5)$

Этап 4.2.2

Вычтем $5$ из $- 4$ .

$3 \cdot - 3 - 2 \cdot 3 + 1 \cdot - 9$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$- 9 - 2 \cdot 3 + 1 \cdot - 9$

Этап 5.1.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 9 - 6 + 1 \cdot - 9$

Этап 5.1.3

Умножим $- 9$ на $1$ .

$- 9 - 6 - 9$

Этап 5.2

Вычтем $6$ из $- 9$ .

$- 15 - 9$

Этап 5.3

Вычтем $9$ из $- 15$ .

$- 24$