Основы мат. анализа Примеры

$(- 4, \frac{7 π}{6})$

Этап 1

Преобразуем $(x, y)$ из прямоугольных координат в полярные $(r, θ)$ , используя формулы перевода.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 2

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(\frac{7 π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3

Найдем абсолютную величину полярной координаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{16 + {(\frac{7 π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{7 π}{6}$ .

$r = \sqrt{16 + \frac{{(7 π)}^{2}}{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2

Применим правило умножения к $7 π$ .

$r = \sqrt{16 + \frac{7^{2} π^{2}}{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 + \frac{7^{2} π^{2}}{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3

Возведем $7$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{16 + \frac{49 π^{2}}{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4

Возведем $6$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{16 + \frac{49 π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{36}{36}$ .

$r = \sqrt{16 \cdot \frac{36}{36} + \frac{49 π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6

Объединим $16$ и $\frac{36}{36}$ .

$r = \sqrt{\frac{16 \cdot 36}{36} + \frac{49 π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \sqrt{\frac{16 \cdot 36 + 49 π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.2

Умножим $16$ на $36$ .

$r = \sqrt{\frac{576 + 49 π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{576 + 49 π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8

Перепишем $\sqrt{\frac{576 + 49 π^{2}}{36}}$ в виде $\frac{\sqrt{576 + 49 π^{2}}}{\sqrt{36}}$ .

$r = \frac{\sqrt{576 + 49 π^{2}}}{\sqrt{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{576 + 49 π^{2}}}{\sqrt{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = \frac{\sqrt{576 + 49 π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{576 + 49 π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{576 + 49 π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 4

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \frac{\sqrt{576 + 49 π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{7 π}{6}}{- 4})$

Этап 5

Обратная функция тангенса $- \frac{7 π}{24}$ равна $θ = 137.50103765 °$ .

$r = \frac{\sqrt{576 + 49 π^{2}}}{6}$

$θ = 137.50103765 °$

Этап 6

Это результат преобразования в полярные координаты в виде $(r, θ)$ .

$(\frac{\sqrt{576 + 49 π^{2}}}{6}, 137.50103765 °)$