Основы мат. анализа Примеры

$(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$

Этап 1

Преобразуем $(x, y)$ из прямоугольных координат в полярные $(r, θ)$ , используя формулы перевода.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 2

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \sqrt{{(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3

Найдем абсолютную величину полярной координаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.1.2

Применим правило умножения к $3 \sqrt{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2.5

Найдем экспоненту.

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 2}{4} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.2

Умножим $9$ на $2$ .

$r = \sqrt{\frac{18}{4} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $18$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$r = \sqrt{\frac{2 (9)}{4} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4.2

Применим правило умножения к $3 \sqrt{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5.2.5

Найдем экспоненту.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.2

Умножим $9$ на $2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{18}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.3

Сократим общий множитель $18$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{2 (9)}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{2} + \frac{9}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \sqrt{\frac{9 + 9}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.4.2

Добавим $9$ и $9$ .

$r = \sqrt{\frac{18}{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.4.3

Разделим $18$ на $2$ .

$r = \sqrt{9}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.4.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$r = \sqrt{3^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = 3$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 3$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 4

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = 3$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{3 \sqrt{2}}{2}}{\frac{3 \sqrt{2}}{2}})$

Этап 5

Обратная функция тангенса $1$ равна $θ = 45 °$ .

$r = 3$

$θ = 45 °$

Этап 6

Это результат преобразования в полярные координаты в виде $(r, θ)$ .

$(3, 45 °)$