Основы мат. анализа Примеры

$(- \frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{3}}{2})$

Этап 1

Преобразуем $(x, y)$ из прямоугольных координат в полярные $(r, θ)$ , используя формулы перевода.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 2

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \sqrt{{(- \frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3

Найдем абсолютную величину полярной координаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3

Умножим $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$r = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим правило умножения к $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.2

Применим правило умножения к $5 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.2.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7.2.5

Найдем экспоненту.

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8.2

Умножим $25$ на $3$ .

$r = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{75}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \sqrt{\frac{25 + 75}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8.4

Добавим $25$ и $75$ .

$r = \sqrt{\frac{100}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8.5

Разделим $100$ на $4$ .

$r = \sqrt{25}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8.6

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$r = \sqrt{5^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{5^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = 5$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 5$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 4

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = 5$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{2}}{- \frac{5}{2}})$

Этап 5

Обратная функция тангенса $- \sqrt{3}$ равна $θ = 120 °$ .

$r = 5$

$θ = 120 °$

Этап 6

Это результат преобразования в полярные координаты в виде $(r, θ)$ .

$(5, 120 °)$