Основы мат. анализа Примеры

${(1 + i)}^{5}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{5} \frac{5!}{(5 - k)! k!} \cdot {(1)}^{5 - k} \cdot {(i)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{5!}{(5 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{5 - 0} \cdot {(i)}^{0} + \frac{5!}{(5 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{5 - 1} \cdot {(i)}^{1} + \dots + \frac{5!}{(5 - 5)! 5!} \cdot {(1)}^{5 - 5} \cdot {(i)}^{5}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(1)}^{5} \cdot {(i)}^{0} + 5 \cdot {(1)}^{4} \cdot {(i)}^{1} + \dots + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{5}$

Этап 4

Упростим итоговый многочлен.

$- 4 - 4 i$