Основы мат. анализа Примеры

${(4 x - 3 y)}^{4}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(4 x)}^{4 - k} \cdot {(- 3 y)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(4 x)}^{4 - 0} \cdot {(- 3 y)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(4 x)}^{4 - 1} \cdot {(- 3 y)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(4 x)}^{4 - 2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(4 x)}^{4 - 3} \cdot {(- 3 y)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(4 x)}^{4 - 4} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(4 x)}^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(4 x)}^{4}$ на $1$ .

${(4 x)}^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $4 x$ .

$4^{4} x^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.3

Возведем $4$ в степень $4$ .

$256 x^{4} \cdot {(- 3 y)}^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $- 3 y$ .

$256 x^{4} \cdot ({(- 3)}^{0} y^{0}) + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$256 \cdot {(- 3)}^{0} x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$256 \cdot 1 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.7

Умножим $256$ на $1$ .

$256 x^{4} y^{0} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$256 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.9

Умножим $256$ на $1$ .

$256 x^{4} + 4 \cdot {(4 x)}^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.10

Применим правило умножения к $4 x$ .

$256 x^{4} + 4 \cdot (4^{3} x^{3}) \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.11

Умножим $4$ на $4^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Перенесем $4^{3}$ .

$256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4 \cdot x^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.11.2

Умножим $4^{3}$ на $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4^{1} \cdot x^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$256 x^{4} + 4^{3 + 1} \cdot x^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.11.3

Добавим $3$ и $1$ .

$256 x^{4} + 4^{4} \cdot x^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1} + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.12

Упростим $4^{4} \cdot x^{3} \cdot {(- 3 y)}^{1}$ .

$256 x^{4} + 4^{4} \cdot x^{3} \cdot (- 3 y) + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$256 x^{4} + 4^{4} \cdot - 3 x^{3} y + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.14

Возведем $4$ в степень $4$ .

$256 x^{4} + 256 \cdot - 3 x^{3} y + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.15

Умножим $256$ на $- 3$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 6 \cdot {(4 x)}^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.16

Применим правило умножения к $4 x$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 6 \cdot (4^{2} x^{2}) \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.17

Возведем $4$ в степень $2$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 6 \cdot (16 x^{2}) \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.18

Умножим $16$ на $6$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 96 x^{2} \cdot {(- 3 y)}^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $- 3 y$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 96 x^{2} \cdot ({(- 3)}^{2} y^{2}) + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.20

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 96 \cdot {(- 3)}^{2} x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.21

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 96 \cdot 9 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.22

Умножим $96$ на $9$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 4 \cdot {(4 x)}^{1} \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.23

Упростим.

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 4 \cdot (4 x) \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.24

Умножим $4$ на $4$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 16 x \cdot {(- 3 y)}^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.25

Применим правило умножения к $- 3 y$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 16 x \cdot ({(- 3)}^{3} y^{3}) + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.26

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 16 \cdot {(- 3)}^{3} x y^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.27

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} + 16 \cdot - 27 x y^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.28

Умножим $16$ на $- 27$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + 1 \cdot {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.29

Умножим ${(4 x)}^{0}$ на $1$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + {(4 x)}^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.30

Применим правило умножения к $4 x$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + 4^{0} x^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.31

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + 1 x^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.32

Умножим $x^{0}$ на $1$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + x^{0} \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.33

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + 1 \cdot {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.34

Умножим ${(- 3 y)}^{4}$ на $1$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + {(- 3 y)}^{4}$

Этап 4.35

Применим правило умножения к $- 3 y$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + {(- 3)}^{4} y^{4}$

Этап 4.36

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$256 x^{4} - 768 x^{3} y + 864 x^{2} y^{2} - 432 x y^{3} + 81 y^{4}$