Основы мат. анализа Примеры

${(c + d)}^{3}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(c)}^{3 - k} \cdot {(d)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(c)}^{3 - 0} \cdot {(d)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(c)}^{3 - 1} \cdot {(d)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(c)}^{3 - 2} \cdot {(d)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(c)}^{3 - 3} \cdot {(d)}^{3}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(c)}^{3} \cdot {(d)}^{0} + 3 \cdot {(c)}^{2} \cdot {(d)}^{1} + 3 \cdot {(c)}^{1} \cdot {(d)}^{2} + 1 \cdot {(c)}^{0} \cdot {(d)}^{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(c)}^{3}$ на $1$ .

${(c)}^{3} \cdot {(d)}^{0} + 3 \cdot {(c)}^{2} \cdot {(d)}^{1} + 3 \cdot {(c)}^{1} \cdot {(d)}^{2} + 1 \cdot {(c)}^{0} \cdot {(d)}^{3}$

Этап 4.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$c^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(c)}^{2} \cdot {(d)}^{1} + 3 \cdot {(c)}^{1} \cdot {(d)}^{2} + 1 \cdot {(c)}^{0} \cdot {(d)}^{3}$

Этап 4.3

Умножим $c^{3}$ на $1$ .

$c^{3} + 3 \cdot {(c)}^{2} \cdot {(d)}^{1} + 3 \cdot {(c)}^{1} \cdot {(d)}^{2} + 1 \cdot {(c)}^{0} \cdot {(d)}^{3}$

Этап 4.4

Упростим.

$c^{3} + 3 c^{2} \cdot d + 3 \cdot {(c)}^{1} \cdot {(d)}^{2} + 1 \cdot {(c)}^{0} \cdot {(d)}^{3}$

Этап 4.5

Упростим.

$c^{3} + 3 c^{2} d + 3 \cdot c \cdot {(d)}^{2} + 1 \cdot {(c)}^{0} \cdot {(d)}^{3}$

Этап 4.6

Умножим ${(c)}^{0}$ на $1$ .

$c^{3} + 3 c^{2} d + 3 c d^{2} + {(c)}^{0} \cdot {(d)}^{3}$

Этап 4.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$c^{3} + 3 c^{2} d + 3 c d^{2} + 1 \cdot {(d)}^{3}$

Этап 4.8

Умножим ${(d)}^{3}$ на $1$ .

$c^{3} + 3 c^{2} d + 3 c d^{2} + d^{3}$