Основы мат. анализа Примеры

${(x - h)}^{3}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(- h)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(- h)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(- h)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(- h)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- h)}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(x)}^{3}$ на $1$ .

${(x)}^{3} \cdot {(- h)}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $- h$ .

$x^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} h^{0}) + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(- 1)}^{0} x^{3} h^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 x^{3} h^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.5

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} h^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.7

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- h)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.8

Упростим.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot (- h) + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} h + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.10

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.11

Упростим.

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 \cdot x \cdot {(- h)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.12

Применим правило умножения к $- h$ .

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 x \cdot ({(- 1)}^{2} h^{2}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x h^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.14

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 \cdot 1 x h^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.15

Умножим $3$ на $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.16

Умножим ${(x)}^{0}$ на $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + {(x)}^{0} \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.17

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + 1 \cdot {(- h)}^{3}$

Этап 4.18

Умножим ${(- h)}^{3}$ на $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + {(- h)}^{3}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $- h$ .

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + {(- 1)}^{3} h^{3}$

Этап 4.20

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} h + 3 x h^{2} - h^{3}$