Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - 5 x - 1}{x + 4}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$4$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$5 x$

$1$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$4$		$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$4$		$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
			+	$3 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} + 12 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$x$	+	$4$		$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$4$		$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$4$		$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$4$		$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$4$		$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{2} - 12 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$4$		$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$4$		$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$7 x$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$4$		$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$7 x$	-	$1$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$7$
$x$	+	$4$		$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$7 x$	-	$1$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$7$
$x$	+	$4$		$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$7 x$	-	$1$
							+	$7 x$	+	$28$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7 x + 28$ .

				$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$7$
$x$	+	$4$		$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$7 x$	-	$1$
							-	$7 x$	-	$28$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$7$
$x$	+	$4$		$3 x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$7 x$	-	$1$
							-	$7 x$	-	$28$
									-	$29$

Этап 16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$3 x^{2} - 3 x + 7 - \frac{29}{x + 4}$