Основы мат. анализа Примеры

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{(3 x^{2} - 13 x - 10) (x + 2)}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 5) (x + 2)}{(3 x^{2} - 13 x - 10) (x + 2)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(3 x^{2} - 13 x - 10) (x + 2) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x^{2} - 13 x - 10 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.2

Приравняем $3 x^{2} - 13 x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Приравняем $3 x^{2} - 13 x - 10$ к $0$ .

$3 x^{2} - 13 x - 10 = 0$

Этап 2.2.2

Решим $3 x^{2} - 13 x - 10 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 10 = - 30$ , а сумма — $b = - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 13$ из $- 13 x$ .

$3 x^{2} - 13 x - 10 = 0$

Этап 2.2.2.1.1.2

Запишем $- 13$ как $2$ плюс $- 15$

$3 x^{2} + (2 - 15) x - 10 = 0$

Этап 2.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 2 x - 15 x - 10 = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} + 2 x) - 15 x - 10 = 0$

Этап 2.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x + 2) - 5 (3 x + 2) = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 5) = 0$

Этап 2.2.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 2.2.2.3

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 2.2.2.3.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 2.2.2.3.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.2.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.2.2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.2.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 2.2.2.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.4.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.2.2.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.2.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 2) (x - 5) = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{3}, 5$

Этап 2.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x^{2} - 13 x - 10) (x + 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{3}, 5, - 2$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 5) \cup (5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - \frac{2}{3}, - 2, 5}$

Этап 4