Основы мат. анализа Примеры

$\frac{(\sqrt{x^{2} - 16})}{(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1})}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} - 16}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 16 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $16$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} \geq 16$

Этап 2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{16}$

Этап 2.3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq \sqrt{16}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим $\sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{4^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \geq | 4 |$

Этап 2.3.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$| x | \geq 4$

Этап 2.4

Запишем $| x | \geq 4$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.4.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \geq 4$

Этап 2.4.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.4.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq 4$

Этап 2.4.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq 4 & x \geq 0 \\ - x \geq 4 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.5

Найдем пересечение $x \geq 4$ и $x \geq 0$ .

$x \geq 4$

Этап 2.6

Разделим каждый член $- x \geq 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Разделим каждый член $- x \geq 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{4}{- 1}$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{4}{- 1}$

Этап 2.6.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{4}{- 1}$

Этап 2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Разделим $4$ на $- 1$ .

$x \leq - 4$

Этап 2.7

Найдем объединение решений.

$x \leq - 4$ или $x \geq 4$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 4.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 4.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 4.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 4.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{x^{2} - 16}}{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 4, x \geq 4}$

Этап 8