Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

Этап 1.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$2 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 3$

Этап 1.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$2 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 3$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 3 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 3$

Этап 1.1.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$2 + 3 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 3$

Этап 1.1.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$2 + 3 - 8 \cdot 1 + 3$

Этап 1.1.3.6

Добавим $2$ и $3$ .

$5 - 8 \cdot 1 + 3$

Этап 1.1.3.7

Умножим $- 8$ на $1$ .

$5 - 8 + 3$

Этап 1.1.3.8

Вычтем $8$ из $5$ .

$- 3 + 3$

Этап 1.1.3.9

Добавим $- 3$ и $3$ .

$0$

Этап 1.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 3}{x - 1}$

Этап 1.1.5

Разделим $2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 3$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$3$

Этап 1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$

Этап 1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Этап 1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{2} - 5 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Этап 1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$

Этап 1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	+	$3$

Этап 1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	+	$3$

Этап 1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	+	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

Этап 1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x + 3$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

Этап 1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	+	$3$
							+	$3 x$	-	$3$
										$0$

Этап 1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} + 5 x - 3$

Этап 1.1.6

Запишем $2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 3$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (2 x^{2} + 5 x - 3) = 0$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$(x - 1) (2 x^{2} + 5 (x) - 3) = 0$

Этап 1.2.1.1.2

Запишем $5$ как $- 1$ плюс $6$

$(x - 1) (2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3) = 0$

Этап 1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 1) (2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3) = 0$

Этап 1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3) = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 1) (x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1)) = 0$

Этап 1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(x - 1) ((2 x - 1) (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (2 x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (2 x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 1, \frac{1}{2}, - 3$

Этап 7