Основы мат. анализа Примеры

$\frac{4 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x - 1}{2 x + 1}$

Этап 1

Чтобы вычислить остаток, сначала разделим многочлены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			+	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 x^{2} - 5 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$5 x$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$7 x$

Этап 1.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$7 x$	-	$1$

Этап 1.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$\frac{7}{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$7 x$	-	$1$

Этап 1.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$\frac{7}{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$7 x$	-	$1$
							+	$7 x$	+	$\frac{7}{2}$

Этап 1.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7 x + \frac{7}{2}$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$\frac{7}{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$7 x$	-	$1$
							-	$7 x$	-	$\frac{7}{2}$

Этап 1.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$\frac{7}{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$7 x$	-	$1$
							-	$7 x$	-	$\frac{7}{2}$
									-	$\frac{9}{2}$

Этап 1.16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$2 x^{2} - 5 x + \frac{7}{2} - \frac{9}{2 (2 x + 1)}$

Этап 2

Поскольку последний член в полученном выражении является дробью, числитель этой дроби является остатком.

$- 9$