Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{4} + 3 x^{3} + x^{2} - 3 x + 3}{x + 2}$

Этап 1

Чтобы вычислить остаток, сначала разделим многочлены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + 2 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

Этап 1.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$3 x$

Этап 1.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$3 x$

Этап 1.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

Этап 1.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - 2 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

Этап 1.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

Этап 1.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

Этап 1.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

Этап 1.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$x$

$2$

Этап 1.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x - 2$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$x$

$2$

Этап 1.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$2$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$x$

$2$

$5$

Этап 1.21

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{3} + x^{2} - x - 1 + \frac{5}{x + 2}$

Этап 2

Поскольку последний член в полученном выражении является дробью, числитель этой дроби является остатком.

$5$