Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} (x + 1) = 4 (2 x + 3)$

Этап 1

Упростим $x^{2} (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$0 + 0 + x^{2} (x + 1) = 4 (2 x + 3)$

Этап 1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x^{2} (x + 1) = 4 (2 x + 3)$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x + x^{2} \cdot 1 = 4 (2 x + 3)$

Этап 1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1 = 4 (2 x + 3)$

Этап 1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 = 4 (2 x + 3)$

Этап 1.4.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot 1 = 4 (2 x + 3)$

Этап 1.5

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{3} + x^{2} = 4 (2 x + 3)$

Этап 2

Упростим $4 (2 x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} + x^{2} = 4 (2 x) + 4 \cdot 3$

Этап 2.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$x^{3} + x^{2} = 8 x + 4 \cdot 3$

Этап 2.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$x^{3} + x^{2} = 8 x + 12$

Этап 3

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} + x^{2} - 8 x = 12$

Этап 4

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} + x^{2} - 8 x - 12 = 0$

Этап 5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 5.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Этап 5.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Этап 5.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Этап 5.1.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Этап 5.1.3.4

Добавим $- 8$ и $4$ .

$- 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Этап 5.1.3.5

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$- 4 + 16 - 12$

Этап 5.1.3.6

Добавим $- 4$ и $16$ .

$12 - 12$

Этап 5.1.3.7

Вычтем $12$ из $12$ .

$0$

Этап 5.1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 2}$

Этап 5.1.5

Разделим $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

Этап 5.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$

Этап 5.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 5.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 5.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 5.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Этап 5.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Этап 5.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 5.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 5.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$

Этап 5.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Этап 5.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Этап 5.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Этап 5.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x - 12$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Этап 5.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

Этап 5.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 6$

Этап 5.1.6

Запишем $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ в виде набора множителей.

$(x + 2) (x^{2} - x - 6) = 0$

Этап 5.2

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Этап 5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 8

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = - 2, 3$

Этап 10