Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 x^{4} - 5 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 1}{x - 3}$

Этап 1

Чтобы вычислить остаток, сначала разделим многочлены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{4} - 6 x^{3}$ .

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

Этап 1.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$3 x$

Этап 1.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$3 x$

Этап 1.13

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$3 x$

$10 x^{2}$

$30 x$

Этап 1.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x^{2} - 30 x$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$3 x$

$10 x^{2}$

$30 x$

Этап 1.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$3 x$

$10 x^{2}$

$30 x$

$27 x$

Этап 1.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$3 x$

$10 x^{2}$

$30 x$

$27 x$

$1$

Этап 1.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $27 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$27$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$3 x$

$10 x^{2}$

$30 x$

$27 x$

$1$

Этап 1.18

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$27$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$3 x$

$10 x^{2}$

$30 x$

$27 x$

$1$

$27 x$

$81$

Этап 1.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $27 x - 81$ .

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$27$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$3 x$

$10 x^{2}$

$30 x$

$27 x$

$1$

$27 x$

$81$

Этап 1.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$10 x$

$27$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$5 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$1$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$3 x$

$10 x^{2}$

$30 x$

$27 x$

$1$

$27 x$

$81$

$82$

Этап 1.21

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$2 x^{3} + x^{2} + 10 x + 27 + \frac{82}{x - 3}$

Этап 2

Поскольку последний член в полученном выражении является дробью, числитель этой дроби является остатком.

$82$