Основы мат. анализа Примеры

$\sin^{4} (3 x)$

Этап 1

Применим формулу тройного угла для синуса.

${(- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x))}^{4}$

Этап 2

Воспользуемся бином Ньютона.

${(- 4 \sin^{3} (x))}^{4} + 4 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{3} (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $- 4 \sin^{3} (x)$ .

${(- 4)}^{4} {(\sin^{3} (x))}^{4} + 4 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{3} (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.2

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$256 {(\sin^{3} (x))}^{4} + 4 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{3} (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${(\sin^{3} (x))}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$256 {\sin (x)}^{3 \cdot 4} + 4 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{3} (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{3} (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.4

Применим правило умножения к $- 4 \sin^{3} (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 ({(- 4)}^{3} {(\sin^{3} (x))}^{3}) (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.5

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 (- 64 {(\sin^{3} (x))}^{3}) (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.6

Перемножим экспоненты в ${(\sin^{3} (x))}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 (- 64 {\sin (x)}^{3 \cdot 3}) (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.6.2

Умножим $3$ на $3$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 (- 64 \sin^{9} (x)) (3 \sin (x)) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.7

Умножим $\sin^{9} (x)$ на $\sin (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 (- 64 (\sin (x) \sin^{9} (x))) \cdot 3 + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.7.2

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{9} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 (- 64 (\sin^{1} (x) \sin^{9} (x))) \cdot 3 + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$256 \sin^{12} (x) + 4 (- 64 {\sin (x)}^{1 + 9}) \cdot 3 + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.7.3

Добавим $1$ и $9$ .

$256 \sin^{12} (x) + 4 (- 64 \sin^{10} (x)) \cdot 3 + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.8

Умножим $- 64$ на $4$ .

$256 \sin^{12} (x) - 256 \sin^{10} (x) \cdot 3 + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.9

Умножим $3$ на $- 256$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 6 {(- 4 \sin^{3} (x))}^{2} {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.10

Применим правило умножения к $- 4 \sin^{3} (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 6 ({(- 4)}^{2} {(\sin^{3} (x))}^{2}) {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.11

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 6 (16 {(\sin^{3} (x))}^{2}) {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.12

Перемножим экспоненты в ${(\sin^{3} (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 6 (16 {\sin (x)}^{3 \cdot 2}) {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.12.2

Умножим $3$ на $2$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 6 (16 \sin^{6} (x)) {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.13

Умножим $16$ на $6$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 96 \sin^{6} (x) {(3 \sin (x))}^{2} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.14

Применим правило умножения к $3 \sin (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 96 \sin^{6} (x) (3^{2} \sin^{2} (x)) + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.15

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 96 \cdot 3^{2} \sin^{6} (x) \sin^{2} (x) + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.16

Умножим $\sin^{6} (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 96 \cdot 3^{2} (\sin^{2} (x) \sin^{6} (x)) + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.16.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 96 \cdot 3^{2} {\sin (x)}^{2 + 6} + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.16.3

Добавим $2$ и $6$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 96 \cdot 3^{2} \sin^{8} (x) + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.17

Возведем $3$ в степень $2$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 96 \cdot 9 \sin^{8} (x) + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.18

Умножим $96$ на $9$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) + 4 (- 4 \sin^{3} (x)) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.19

Умножим $- 4$ на $4$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 16 \sin^{3} (x) {(3 \sin (x))}^{3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.20

Применим правило умножения к $3 \sin (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 16 \sin^{3} (x) (3^{3} \sin^{3} (x)) + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.21

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 16 \cdot 3^{3} \sin^{3} (x) \sin^{3} (x) + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.22

Умножим $\sin^{3} (x)$ на $\sin^{3} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.22.1

Перенесем $\sin^{3} (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 16 \cdot 3^{3} (\sin^{3} (x) \sin^{3} (x)) + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.22.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 16 \cdot 3^{3} {\sin (x)}^{3 + 3} + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.22.3

Добавим $3$ и $3$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 16 \cdot 3^{3} \sin^{6} (x) + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.23

Возведем $3$ в степень $3$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 16 \cdot 27 \sin^{6} (x) + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.24

Умножим $- 16$ на $27$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 432 \sin^{6} (x) + {(3 \sin (x))}^{4}$

Этап 3.25

Применим правило умножения к $3 \sin (x)$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 432 \sin^{6} (x) + 3^{4} \sin^{4} (x)$

Этап 3.26

Возведем $3$ в степень $4$ .

$256 \sin^{12} (x) - 768 \sin^{10} (x) + 864 \sin^{8} (x) - 432 \sin^{6} (x) + 81 \sin^{4} (x)$