Основы мат. анализа Примеры

$36 x^{2} + 9 y^{2} + 48 x - 36 y + 43 = 0$

Этап 1

Вычтем $43$ из обеих частей уравнения.

$36 x^{2} + 9 y^{2} + 48 x - 36 y = - 43$

Этап 2

Составим полный квадрат для $36 x^{2} + 48 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 36$

$b = 48$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{48}{2 \cdot 36}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $48$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $48$ .

$d = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 36}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot 24}{2 (36)}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 36}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{24}{36}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $24$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $24$ .

$d = \frac{12 (2)}{36}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $36$ .

$d = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 3}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 3}$

Этап 2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{3}$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{48^{2}}{4 \cdot 36}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $48$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{2304}{4 \cdot 36}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $36$ .

$e = 0 - \frac{2304}{144}$

Этап 2.4.2.1.3

Разделим $2304$ на $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 0 - 16$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$e = - 16$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} - 16$ .

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} - 16$

Этап 3

Подставим $36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} - 16$ вместо $36 x^{2} + 48 x$ в уравнение $36 x^{2} + 9 y^{2} + 48 x - 36 y = - 43$ .

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} - 16 + 9 y^{2} - 36 y = - 43$

Этап 4

Перенесем $- 16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + 9 y^{2} - 36 y = - 43 + 16$

Этап 5

Составим полный квадрат для $9 y^{2} - 36 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 18}{9}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 18$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Этап 5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 5.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $- 36$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим $1296$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $36$ .

$e = 0 - 36$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $36$ из $0$ .

$e = - 36$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(y - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(y - 2)}^{2} - 36$

Этап 6

Подставим $9 {(y - 2)}^{2} - 36$ вместо $9 y^{2} - 36 y$ в уравнение $36 x^{2} + 9 y^{2} + 48 x - 36 y = - 43$ .

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + 9 {(y - 2)}^{2} - 36 = - 43 + 16$

Этап 7

Перенесем $- 36$ в правую часть уравнения, прибавив $36$ к обеим частям.

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + 9 {(y - 2)}^{2} = - 43 + 16 + 36$

Этап 8

Упростим $- 43 + 16 + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $- 43$ и $16$ .

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + 9 {(y - 2)}^{2} = - 27 + 36$

Этап 8.2

Добавим $- 27$ и $36$ .

$36 {(x + \frac{2}{3})}^{2} + 9 {(y - 2)}^{2} = 9$

Этап 9

Разделим каждый член на $9$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{36 {(x + \frac{2}{3})}^{2}}{9} + \frac{9 {(y - 2)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Этап 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + \frac{2}{3})}^{2}}{\frac{1}{4}} + {(y - 2)}^{2} = 1$