Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y + 17 = 0$

Этап 1

Вычтем $17$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$

Этап 2

Составим полный квадрат для $4 x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 4$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (4)}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{4}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{4}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 4)}^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.1.1.4

Умножим $4^{2}$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (4)}$

Этап 2.4.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Этап 2.4.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 2.4.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 2.4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 2.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 0 - 1$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$e = - 1$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Этап 3

Подставим $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$ вместо $4 x^{2} - 4 x$ в уравнение $4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1 - 4 y^{2} + 6 y = - 17$

Этап 4

Перенесем $- 1$ в правую часть уравнения, прибавив $1$ к обеим частям.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} + 6 y = - 17 + 1$

Этап 5

Составим полный квадрат для $- 4 y^{2} + 6 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 4$

$b = 6$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 4}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (- 4)}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{- 4}$

Этап 5.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{3}{4}$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 4}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 4}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 16}$

Этап 5.4.2.1.3

Сократим общий множитель $36$ и $- 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$e = 0 - \frac{4 (9)}{- 16}$

Этап 5.4.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 4}$

Этап 5.4.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 4}$

Этап 5.4.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{9}{- 4}$

Этап 5.4.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = 0 - - \frac{9}{4}$

Этап 5.4.2.1.5

Умножим $- - \frac{9}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{9}{4})$

Этап 5.4.2.1.5.2

Умножим $\frac{9}{4}$ на $1$ .

$e = 0 + \frac{9}{4}$

Этап 5.4.2.2

Добавим $0$ и $\frac{9}{4}$ .

$e = \frac{9}{4}$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$ .

$- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$

Этап 6

Подставим $- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$ вместо $- 4 y^{2} + 6 y$ в уравнение $4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4} = - 17 + 1$

Этап 7

Перенесем $\frac{9}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{9}{4}$ к обеим частям.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = - 17 + 1 - \frac{9}{4}$

Этап 8

Упростим $- 17 + 1 - \frac{9}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Запишем $- 17$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17}{1} + 1 - \frac{9}{4}$

Этап 8.1.2

Умножим $\frac{- 17}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{9}{4}$

Этап 8.1.3

Умножим $\frac{- 17}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + 1 - \frac{9}{4}$

Этап 8.1.4

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} - \frac{9}{4}$

Этап 8.1.5

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Этап 8.1.6

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Этап 8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4 + 4 - 9}{4}$

Этап 8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $- 17$ на $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 68 + 4 - 9}{4}$

Этап 8.3.2

Добавим $- 68$ и $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 64 - 9}{4}$

Этап 8.3.3

Вычтем $9$ из $- 64$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 73}{4}$

Этап 8.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{73}{4}$

Этап 9

Заменим на противоположный знак каждого члена уравнения таким образом, чтобы выражение справа стало положительным.

$- 4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{73}{4}$

Этап 10

Разделим каждый член на $\frac{73}{4}$ , чтобы правая часть была равна единице.

$- \frac{4 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{73}{4}} + \frac{4 {(y - \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{73}{4}} = \frac{\frac{73}{4}}{\frac{73}{4}}$

Этап 11

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y - \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{73}{16}} - \frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{73}{16}} = 1$