Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 40 x - 32 y = 5$

Этап 1

Разделим обе части уравнения на $4$ .

$x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y = \frac{5}{4}$

Этап 2

Составим полный квадрат для $x^{2} + 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Этап 2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{5}{1}$

Этап 2.3.2.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$d = 5$

Этап 2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Возведем $10$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Этап 2.4.2.1.3

Разделим $100$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $25$ .

$e = 0 - 25$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $25$ из $0$ .

$e = - 25$

Этап 2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + 5)}^{2} - 25$ .

${(x + 5)}^{2} - 25$

Этап 3

Подставим ${(x + 5)}^{2} - 25$ вместо $x^{2} + 10 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y = \frac{5}{4}$ .

${(x + 5)}^{2} - 25 + y^{2} - 8 y = \frac{5}{4}$

Этап 4

Перенесем $- 25$ в правую часть уравнения, прибавив $25$ к обеим частям.

${(x + 5)}^{2} + y^{2} - 8 y = \frac{5}{4} + 25$

Этап 5

Составим полный квадрат для $y^{2} - 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Этап 5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{1}$

Этап 5.3.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$d = - 4$

Этап 5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Этап 5.4.2.1.3

Разделим $64$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 0 - 16$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$e = - 16$

Этап 5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - 4)}^{2} - 16$ .

${(y - 4)}^{2} - 16$

Этап 6

Подставим ${(y - 4)}^{2} - 16$ вместо $y^{2} - 8 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y = \frac{5}{4}$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = \frac{5}{4} + 25$

Этап 7

Перенесем $- 16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + 25 + 16$

Этап 8

Упростим $\frac{5}{4} + 25 + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Запишем $25$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25}{1} + 16$

Этап 8.1.2

Умножим $\frac{25}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25}{1} \cdot \frac{4}{4} + 16$

Этап 8.1.3

Умножим $\frac{25}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4} + 16$

Этап 8.1.4

Запишем $16$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1}$

Этап 8.1.5

Умножим $\frac{16}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 8.1.6

Умножим $\frac{16}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Этап 8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5 + 25 \cdot 4 + 16 \cdot 4}{4}$

Этап 8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $25$ на $4$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5 + 100 + 16 \cdot 4}{4}$

Этап 8.3.2

Умножим $16$ на $4$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{5 + 100 + 64}{4}$

Этап 8.4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Добавим $5$ и $100$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{105 + 64}{4}$

Этап 8.4.2

Добавим $105$ и $64$ .

${(x + 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = \frac{169}{4}$