Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} - 5 x + 4 y = 46$

Этап 1

Составим полный квадрат для $x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Этап 1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{5}{2}$

Этап 1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $\frac{25}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Этап 1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Этап 2

Подставим ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ вместо $x^{2} - 5 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 5 x + 4 y = 46$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} + 4 y = 46$

Этап 3

Перенесем $- \frac{25}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{25}{4}$ к обеим частям.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} + 4 y = 46 + \frac{25}{4}$

Этап 4

Составим полный квадрат для $y^{2} + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Этап 4.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 4.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 4.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 4.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 4.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 4.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Этап 4.4.2.1.1.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 4.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 4.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

Этап 5

Подставим ${(y + 2)}^{2} - 4$ вместо $y^{2} + 4 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 5 x + 4 y = 46$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 46 + \frac{25}{4}$

Этап 6

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 46 + \frac{25}{4} + 4$

Этап 7

Упростим $46 + \frac{25}{4} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Запишем $46$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{46}{1} + \frac{25}{4} + 4$

Этап 7.1.2

Умножим $\frac{46}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{46}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4} + 4$

Этап 7.1.3

Умножим $\frac{46}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{46 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4} + 4$

Этап 7.1.4

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{46 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4} + \frac{4}{1}$

Этап 7.1.5

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{46 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4} + \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.1.6

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{46 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Этап 7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{46 \cdot 4 + 25 + 4 \cdot 4}{4}$

Этап 7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $46$ на $4$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{184 + 25 + 4 \cdot 4}{4}$

Этап 7.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{184 + 25 + 16}{4}$

Этап 7.4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Добавим $184$ и $25$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{209 + 16}{4}$

Этап 7.4.2

Добавим $209$ и $16$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{225}{4}$