Основы мат. анализа Примеры

${(2 m + 12)}^{2} + {(3 m)}^{2} = 5 m^{2}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило умножения к $3 m$ .

${(2 m + 12)}^{2} + 3^{2} m^{2} = 5 m^{2}$

Этап 1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

${(2 m + 12)}^{2} + 9 m^{2} = 5 m^{2}$

Этап 2

Перенесем все члены с $m$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $5 m^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(2 m + 12)}^{2} + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем ${(2 m + 12)}^{2}$ в виде $(2 m + 12) (2 m + 12)$ .

$(2 m + 12) (2 m + 12) + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Развернем $(2 m + 12) (2 m + 12)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 m (2 m + 12) + 12 (2 m + 12) + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Этап 2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 12 + 12 (2 m + 12) + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Этап 2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 12 + 12 (2 m) + 12 \cdot 12 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Этап 2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 m \cdot m + 2 m \cdot 12 + 12 (2 m) + 12 \cdot 12 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $m$ на $m$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Перенесем $m$ .

$2 \cdot 2 (m \cdot m) + 2 m \cdot 12 + 12 (2 m) + 12 \cdot 12 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Этап 2.2.3.1.2.2

Умножим $m$ на $m$ .

$2 \cdot 2 m^{2} + 2 m \cdot 12 + 12 (2 m) + 12 \cdot 12 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 m^{2} + 2 m \cdot 12 + 12 (2 m) + 12 \cdot 12 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Этап 2.2.3.1.4

Умножим $12$ на $2$ .

$4 m^{2} + 24 m + 12 (2 m) + 12 \cdot 12 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Этап 2.2.3.1.5

Умножим $2$ на $12$ .

$4 m^{2} + 24 m + 24 m + 12 \cdot 12 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Этап 2.2.3.1.6

Умножим $12$ на $12$ .

$4 m^{2} + 24 m + 24 m + 144 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Этап 2.2.3.2

Добавим $24 m$ и $24 m$ .

$4 m^{2} + 48 m + 144 + 9 m^{2} - 5 m^{2} = 0$

Этап 2.3

Добавим $4 m^{2}$ и $9 m^{2}$ .

$13 m^{2} + 48 m + 144 - 5 m^{2} = 0$

Этап 2.4

Вычтем $5 m^{2}$ из $13 m^{2}$ .

$8 m^{2} + 48 m + 144 = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $8$ из $8 m^{2} + 48 m + 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $8$ из $8 m^{2}$ .

$8 (m^{2}) + 48 m + 144 = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $8$ из $48 m$ .

$8 (m^{2}) + 8 (6 m) + 144 = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $8$ из $144$ .

$8 m^{2} + 8 (6 m) + 8 \cdot 18 = 0$

Этап 3.4

Вынесем множитель $8$ из $8 m^{2} + 8 (6 m)$ .

$8 (m^{2} + 6 m) + 8 \cdot 18 = 0$

Этап 3.5

Вынесем множитель $8$ из $8 (m^{2} + 6 m) + 8 \cdot 18$ .

$8 (m^{2} + 6 m + 18) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $8 (m^{2} + 6 m + 18) = 0$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $8 (m^{2} + 6 m + 18) = 0$ на $8$ .

$\frac{8 (m^{2} + 6 m + 18)}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 (m^{2} + 6 m + 18)}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $m^{2} + 6 m + 18$ на $1$ .

$m^{2} + 6 m + 18 = \frac{0}{8}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $8$ .

$m^{2} + 6 m + 18 = 0$

Этап 5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6

Подставим значения $a = 1$ , $b = 6$ и $c = 18$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $m$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 18)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$m = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$m = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $18$ .

$m = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 72}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3

Вычтем $72$ из $36$ .

$m = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$m = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$m = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$m = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.7

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$m = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$m = \frac{- 6 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$m = \frac{- 6 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$m = \frac{- 6 \pm 6 i}{2}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 6 i}{2}$ .

$m = - 3 \pm 3 i$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$m = - 3 + 3 i, - 3 - 3 i$