Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3}{5} k^{2} - k - \frac{10}{3} = 0$

Этап 1

Объединим $\frac{3}{5}$ и $k^{2}$ .

$\frac{3 k^{2}}{5} - k - \frac{10}{3} = 0$

Этап 2

Каждый член в $\frac{3 k^{2}}{5} - k - \frac{10}{3} = 0$ умножим на $15$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{3 k^{2}}{5} - k - \frac{10}{3} = 0$ на $15$ .

$\frac{3 k^{2}}{5} \cdot 15 - k \cdot 15 - \frac{10}{3} \cdot 15 = 0 \cdot 15$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$\frac{3 k^{2}}{5} \cdot (5 (3)) - k \cdot 15 - \frac{10}{3} \cdot 15 = 0 \cdot 15$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 k^{2}}{5} \cdot (5 \cdot 3) - k \cdot 15 - \frac{10}{3} \cdot 15 = 0 \cdot 15$

Этап 2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$3 k^{2} \cdot 3 - k \cdot 15 - \frac{10}{3} \cdot 15 = 0 \cdot 15$

Этап 2.2.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$9 k^{2} - k \cdot 15 - \frac{10}{3} \cdot 15 = 0 \cdot 15$

Этап 2.2.1.3

Умножим $15$ на $- 1$ .

$9 k^{2} - 15 k - \frac{10}{3} \cdot 15 = 0 \cdot 15$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{10}{3}$ в числитель.

$9 k^{2} - 15 k + \frac{- 10}{3} \cdot 15 = 0 \cdot 15$

Этап 2.2.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$9 k^{2} - 15 k + \frac{- 10}{3} \cdot (3 (5)) = 0 \cdot 15$

Этап 2.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$9 k^{2} - 15 k + \frac{- 10}{3} \cdot (3 \cdot 5) = 0 \cdot 15$

Этап 2.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$9 k^{2} - 15 k - 10 \cdot 5 = 0 \cdot 15$

Этап 2.2.1.5

Умножим $- 10$ на $5$ .

$9 k^{2} - 15 k - 50 = 0 \cdot 15$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $0$ на $15$ .

$9 k^{2} - 15 k - 50 = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot - 50 = - 450$ , а сумма — $b = - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 15$ из $- 15 k$ .

$9 k^{2} - 15 k - 50 = 0$

Этап 3.1.2

Запишем $- 15$ как $15$ плюс $- 30$

$9 k^{2} + (15 - 30) k - 50 = 0$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 k^{2} + 15 k - 30 k - 50 = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(9 k^{2} + 15 k) - 30 k - 50 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 k (3 k + 5) - 10 (3 k + 5) = 0$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 k + 5$ .

$(3 k + 5) (3 k - 10) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 k + 5 = 0$

$3 k - 10 = 0$

Этап 5

Приравняем $3 k + 5$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $3 k + 5$ к $0$ .

$3 k + 5 = 0$

Этап 5.2

Решим $3 k + 5 = 0$ относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$3 k = - 5$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $3 k = - 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $3 k = - 5$ на $3$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 k}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $k$ на $1$ .

$k = \frac{- 5}{3}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$k = - \frac{5}{3}$

Этап 6

Приравняем $3 k - 10$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $3 k - 10$ к $0$ .

$3 k - 10 = 0$

Этап 6.2

Решим $3 k - 10 = 0$ относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$3 k = 10$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $3 k = 10$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $3 k = 10$ на $3$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{10}{3}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 k}{3} = \frac{10}{3}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $k$ на $1$ .

$k = \frac{10}{3}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 k + 5) (3 k - 10) = 0$ верно.

$k = - \frac{5}{3}, \frac{10}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$k = - \frac{5}{3}, \frac{10}{3}$

Десятичная форма:

$k = - 1.\overline{6}, 3.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$k = - 1 \frac{2}{3}, 3 \frac{1}{3}$