Основы мат. анализа Примеры

$- 3 v^{3} = 42 v^{2} + 135 v$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $42 v^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 3 v^{3} - 42 v^{2} = 135 v$

Этап 1.2

Вычтем $135 v$ из обеих частей уравнения.

$- 3 v^{3} - 42 v^{2} - 135 v = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 3 v$ из $- 3 v^{3} - 42 v^{2} - 135 v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 3 v$ из $- 3 v^{3}$ .

$- 3 v \cdot v^{2} - 42 v^{2} - 135 v = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 3 v$ из $- 42 v^{2}$ .

$- 3 v \cdot v^{2} - 3 v (14 v) - 135 v = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $- 3 v$ из $- 135 v$ .

$- 3 v \cdot v^{2} - 3 v (14 v) - 3 v \cdot 45 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $- 3 v$ из $- 3 v (v^{2}) - 3 v (14 v)$ .

$- 3 v (v^{2} + 14 v) - 3 v \cdot 45 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $- 3 v$ из $- 3 v (v^{2} + 14 v) - 3 v (45)$ .

$- 3 v (v^{2} + 14 v + 45) = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разложим $v^{2} + 14 v + 45$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $45$ , а сумма — $14$ .

$5, 9$

Этап 2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 3 v ((v + 5) (v + 9)) = 0$

Этап 2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 v (v + 5) (v + 9) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$v = 0$

$v + 5 = 0$

$v + 9 = 0$

Этап 4

Приравняем $v$ к $0$ .

$v = 0$

Этап 5

Приравняем $v + 5$ к $0$ , затем решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $v + 5$ к $0$ .

$v + 5 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$v = - 5$

Этап 6

Приравняем $v + 9$ к $0$ , затем решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $v + 9$ к $0$ .

$v + 9 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$v = - 9$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 3 v (v + 5) (v + 9) = 0$ верно.

$v = 0, - 5, - 9$