Основы мат. анализа Примеры

$s (t) = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)}$

Этап 1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, (t - 4) (t - 8)$

Этап 2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$(t - 4) (t - 8)$

Этап 3

Каждый член в $s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ умножим на $(t - 4) (t - 8)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ на $(t - 4) (t - 8)$ .

$s t ((t - 4) (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $(t - 4) (t - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$s t (t (t - 8) - 4 (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$s t (t \cdot t + t \cdot - 8 - 4 (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$s t (t \cdot t + t \cdot - 8 - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$s t (t^{2} + t \cdot - 8 - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2.2.1.2

Перенесем $- 8$ влево от $t$ .

$s t (t^{2} - 8 \cdot t - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$s t (t^{2} - 8 t - 4 t + 32) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $4 t$ из $- 8 t$ .

$s t (t^{2} - 12 t + 32) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$s t \cdot t^{2} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Перенесем $t^{2}$ .

$s (t^{2} t) + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2.4.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$s (t^{2} t^{1}) + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s t^{2 + 1} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2.4.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$s t^{3} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$s t^{3} - 12 s t \cdot t + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2.4.3

Перенесем $32$ влево от $s t$ .

$s t^{3} - 12 s t \cdot t + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2.5

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Перенесем $t$ .

$s t^{3} - 12 s (t \cdot t) + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.2.5.2

Умножим $t$ на $t$ .

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(t - 4) (t - 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ в числитель.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = - 7 t$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $7 t$ к обеим частям уравнения.

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t = 0$

Этап 4.2

Вынесем множитель $t$ из $s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $t$ из $s t^{3}$ .

$t (s t^{2}) - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $t$ из $- 12 s t^{2}$ .

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + 32 s t + 7 t = 0$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $t$ из $32 s t$ .

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + t (32 s) + 7 t = 0$

Этап 4.2.4

Вынесем множитель $t$ из $7 t$ .

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + t (32 s) + t \cdot 7 = 0$

Этап 4.2.5

Вынесем множитель $t$ из $t (s t^{2}) + t (- 12 s t)$ .

$t (s t^{2} - 12 s t) + t (32 s) + t \cdot 7 = 0$

Этап 4.2.6

Вынесем множитель $t$ из $t (s t^{2} - 12 s t) + t (32 s)$ .

$t (s t^{2} - 12 s t + 32 s) + t \cdot 7 = 0$

Этап 4.2.7

Вынесем множитель $t$ из $t (s t^{2} - 12 s t + 32 s) + t \cdot 7$ .

$t (s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t = 0$

$s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $t$ к $0$ .

$t = 0$

Этап 4.5

Приравняем $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7$ к $0$ .

$s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$

Этап 4.5.2

Решим $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5.2.2

Подставим значения $a = s$ , $b = - 12 s$ и $c = 32 s + 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $t$ .

$\frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12 s)}^{2} - 4 \cdot (s \cdot (32 s + 7))}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1.1

Добавим круглые скобки.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12 s)}^{2} - 4 \cdot (s \cdot (32 s + 7))}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.2

Пусть $u = s \cdot (32 s + 7)$ . Подставим $u$ вместо $s \cdot (32 s + 7)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1.2.1

Применим правило умножения к $- 12 s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} s^{2} - 4 \cdot u}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.2.2

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{144 s^{2} - 4 u}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $144 s^{2} - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $144 s^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2}) - 4 u}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2}) + 4 (- u)}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (36 s^{2}) + 4 (- u)$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - u)}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $s \cdot (32 s + 7)$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (s \cdot (32 s + 7)))}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (s (32 s) + s \cdot 7))}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s \cdot s + s \cdot 7))}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.5.1.3

Перенесем $7$ влево от $s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s \cdot s + 7 \cdot s))}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.5.1.4

Умножим $s$ на $s$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1.5.1.4.1

Перенесем $s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 (s \cdot s) + 7 \cdot s))}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.5.1.4.2

Умножим $s$ на $s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2} + 7 \cdot s))}}{2 s}$

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2} + 7 s))}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2}) - (7 s))}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.5.1.6

Умножим $32$ на $- 1$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - 32 s^{2} - (7 s))}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.5.1.7

Умножим $7$ на $- 1$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - 32 s^{2} - 7 s)}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.5.2

Вычтем $32 s^{2}$ из $36 s^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (4 s^{2} - 7 s)}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.6

Вынесем множитель $s$ из $4 s^{2} - 7 s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1.6.1

Вынесем множитель $s$ из $4 s^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s) - 7 s)}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.6.2

Вынесем множитель $s$ из $- 7 s$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s) + s \cdot - 7)}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.6.3

Вынесем множитель $s$ из $s (4 s) + s \cdot - 7$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s - 7))}}{2 s}$

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 s (4 s - 7)}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.7

Перепишем $4 s (4 s - 7)$ в виде $2^{2} (s (2^{2} s - 7))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} s (4 s - 7)}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} s (2^{2} s - 7)}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.7.3

Добавим круглые скобки.

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} (s (2^{2} s - 7))}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$t = \frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (2^{2} s - 7)}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.1.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$t = \frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (4 s - 7)}}{2 s}$

Этап 4.5.2.3.2

Упростим $\frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (4 s - 7)}}{2 s}$ .

$t = \frac{6 s \pm \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

Этап 4.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $t (s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7) = 0$ верно.

$t = 0$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = 0$

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

$t = \frac{6 s - \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$