Основы мат. анализа Примеры

${(\frac{1}{5})}^{2} + \cos^{2} (t) = 1$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1^{2}}{5^{2}} + \cos^{2} (t) = 1$

Этап 1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{5^{2}} + \cos^{2} (t) = 1$

Этап 1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{1}{25} + \cos^{2} (t) = 1$

Этап 2

Перенесем все члены без $\cos (t)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $\frac{1}{25}$ из обеих частей уравнения.

$\cos^{2} (t) = 1 - \frac{1}{25}$

Этап 2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\cos^{2} (t) = \frac{25}{25} - \frac{1}{25}$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos^{2} (t) = \frac{25 - 1}{25}$

Этап 2.4

Вычтем $1$ из $25$ .

$\cos^{2} (t) = \frac{24}{25}$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cos (t) = \pm \sqrt{\frac{24}{25}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{24}{25}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{24}{25}}$ в виде $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$ .

$\cos (t) = \pm \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\cos (t) = \pm \frac{\sqrt{4 (6)}}{\sqrt{25}}$

Этап 4.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (t) = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{\sqrt{25}}$

Этап 4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\cos (t) = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\cos (t) = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5^{2}}}$

Этап 4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (t) = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (t) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}, - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Этап 6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $t$ .

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\cos (t) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Этап 7

Решим относительно $t$ в $\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из косинуса.

$t = \arccos (\frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\arccos (\frac{2 \sqrt{6}}{5})$ .

$t = 0.20135792$

Этап 7.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$t = 2 (3.14159265) - 0.20135792$

Этап 7.4

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Избавимся от скобок.

$t = 2 (3.14159265) - 0.20135792$

Этап 7.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 0.20135792$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$t = 6.2831853 - 0.20135792$

Этап 7.4.2.2

Вычтем $0.20135792$ из $6.2831853$ .

$t = 6.08182738$

Этап 7.5

Найдем период $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.6

Период функции $\cos (t)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$t = 0.20135792 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Решим относительно $t$ в $\cos (t) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из косинуса.

$t = \arccos (- \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\arccos (- \frac{2 \sqrt{6}}{5})$ .

$t = 2.94023473$

Этап 8.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$t = 2 (3.14159265) - 2.94023473$

Этап 8.4

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Избавимся от скобок.

$t = 2 (3.14159265) - 2.94023473$

Этап 8.4.2

Упростим $2 (3.14159265) - 2.94023473$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$t = 6.2831853 - 2.94023473$

Этап 8.4.2.2

Вычтем $2.94023473$ из $6.2831853$ .

$t = 3.34295057$

Этап 8.5

Найдем период $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8.6

Период функции $\cos (t)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$t = 2.94023473 + 2 π n, 3.34295057 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Перечислим все решения.

$t = 0.20135792 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n, 2.94023473 + 2 π n, 3.34295057 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $0.20135792 + 2 π n$ и $3.34295057 + 2 π n$ в $0.20135792 + π n$ .

$t = 0.20135792 + π n, 6.08182738 + 2 π n, 2.94023473 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.2

Объединим $6.08182738 + 2 π n$ и $2.94023473 + 2 π n$ в $2.94023473 + π n$ .

$t = 0.20135792 + π n, 2.94023473 + π n$ , для любого целого $n$